Theorem ctvonmbl 39380

Description: Any n-dimensional countable set is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ctvonmbl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ctvonmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
ctvonmbl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem ctvonmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 4501	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ctvonmbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	vonmea 39264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
4		eqid 2605	. . . 4 ⊢ dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
5	3, 4	dmmeasal 39145	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ∈ SAlg)
6		ctvonmbl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
7	2	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ Fin)
8		ctvonmbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9	8	sselda 3563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10	7, 9	snvonmbl 39377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
11	5, 6, 10	saliuncl 39018	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ dom (voln‘𝑋))
12	1, 11	syl5eqelr 2688	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1975   ⊆ wss 3535  {csn 4120  ∪ ciun 4445   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  ‘cfv 5786  (class class class)co 6523  ωcom 6930   ↑_𝑚 cmap 7717   ≼ cdom 7812  Fincfn 7814  ℝcr 9787  volncvoln 39228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-prod 14417  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-field 18515  df-subrg 18543  df-abv 18582  df-staf 18610  df-srng 18611  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-refld 19711  df-phl 19731  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cmp 20938  df-xms 21872  df-ms 21873  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-tng 22136  df-nrg 22137  df-nlm 22138  df-clm 22598  df-cph 22696  df-tch 22697  df-rrx 22894  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-salg 39005  df-sumge0 39056  df-mea 39143  df-ome 39180  df-caragen 39182  df-ovoln 39227  df-voln 39229

This theorem is referenced by: (None)