Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgr0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr0v 26380
 Description: A graph with no vertices and no edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr0v ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Proof of Theorem cusgr0v
StepHypRef Expression
1 cplgr0v.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eqeq1i 2656 . . 3 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
3 usgr0v 26178 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
42, 3syl3an2b 1403 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
51cplgr0v 26379 . . 3 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
653adant3 1101 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
7 iscusgr 26370 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
84, 6, 7sylanbrc 699 1 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  USGraphcusgr 26089  ComplGraphccplgr 26360  ComplUSGraphccusgr 26361 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-2 11117  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-uvtx 26332  df-cplgr 26362  df-cusgr 26363 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator