MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrasize2inds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrasize2inds 25768
Description: Induction step in cusgrasize 25769. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑥)})
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25750 . . . . 5 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
2 usgrav 25630 . . . . 5 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4 hashnn0n0nn 12990 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
54anassrs 677 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6 simplll 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁𝑉)
8 eleq1 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 = (#‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
98eqcoms 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
10 nnm1nn0 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1211ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1312imp 443 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14 nncn 10872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
15 1cnd 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1614, 15npcand 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
1716eqcomd 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
189, 17syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
1918ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
2019imp 443 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
21 brfi1indlem 13076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1)))
2221imp 443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
236, 7, 13, 20, 22syl31anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
24 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((#‘𝑉) − 1)C2))
2524eqeq2d 2616 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)))
269ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
27 nnnn0 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
28 hashclb 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
2927, 28syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
3029impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
31 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑥)})
3231cusgrasizeinds 25767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)))
33 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)))
3433eqeq2d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
36 bcn2m1 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) = ((#‘𝑉)C2))
3736eqeq2d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
3837biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
4035, 39sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
4140ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
4241com3r 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
44433exp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4544com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4730, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
4847ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4948com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ V → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
5150imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5226, 51sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5352imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5453com13 85 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5525, 54syl6bi 241 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5655com24 92 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5723, 56mpcom 37 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5857ex 448 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5958adantllr 750 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
605, 59mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
6160exp41 635 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
6261com25 96 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
6362adantr 479 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
643, 63mpcom 37 . . 3 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
65643imp 1248 . 2 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
6665com12 32 1 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2777  {crab 2896  Vcvv 3169  cdif 3533  {csn 4121   class class class wbr 4574  dom cdm 5025  cres 5027  cfv 5787  (class class class)co 6524  Fincfn 7815  1c1 9790   + caddc 9792  cmin 10114  cn 10864  2c2 10914  0cn0 11136  Ccbc 12903  #chash 12931   USGrph cusg 25622   ComplUSGrph ccusgra 25710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-seq 12616  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-usgra 25625  df-nbgra 25712  df-cusgra 25713
This theorem is referenced by:  cusgrasize  25769
  Copyright terms: Public domain W3C validator