MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfi 26335
Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrfi ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 8174 . . . . 5 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛𝑉)
2 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
43anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
54rexbidv 3048 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
65cbvrabv 3194 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
82, 6, 7cusgrfilem3 26334 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
98notbid 308 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
109biimpac 503 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
112, 6cusgrfilem1 26332 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12 cusgrfi.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1312eleq1i 2690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14 ssfi 8165 . . . . . . . . . . . . 13 (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
1514expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1613, 15syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1716con3d 148 . . . . . . . . . 10 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1918expcom 451 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2019com23 86 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
231, 22exlimddv 1861 . . . 4 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2423com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2524con4d 114 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
2625imp 445 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  {crab 2913  cdif 3564  wss 3567  𝒫 cpw 4149  {csn 4168  {cpr 4170  cmpt 4720  cfv 5876  Fincfn 7940  Vtxcvtx 25855  Edgcedg 25920  ComplUSGraphccusgr 26208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101  df-edg 25921  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-usgr 26027  df-nbgr 26209  df-uvtxa 26211  df-cplgr 26212  df-cusgr 26213
This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  26339
  Copyright terms: Public domain W3C validator