MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrres 27157
Description: Restricting a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrres.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrres.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
cusgrres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
cusgrres ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrres
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 27128 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrres.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgrres.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4 cusgrres.f . . . 4 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
5 cusgrres.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩
62, 3, 4, 5usgrres1 27024 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
71, 6sylan 580 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
8 iscusgr 27127 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
9 usgrupgr 26894 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
1110anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉))
1211anim1i 614 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})))
132iscplgr 27124 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
14 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
1514ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → 𝑣𝑉)
16 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑣 → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1716rspcv 3615 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉 → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
1918ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2019com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑛𝑉 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2113, 20sylbid 241 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))))
2221imp 407 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) → ((𝑁𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
2322impl 456 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
242, 3, 4, 5uvtxupgrres 27117 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
2512, 23, 24sylc 65 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
2625ralrimiva 3179 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph) ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
278, 26sylanb 581 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆))
28 opex 5347 . . . . 5 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), ( I ↾ 𝐹)⟩ ∈ V
295, 28eqeltri 2906 . . . 4 𝑆 ∈ V
302, 3, 4, 5upgrres1lem2 27020 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
3130eqcomi 2827 . . . . 5 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
3231iscplgr 27124 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3329, 32mp1i 13 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝑆)))
3427, 33mpbird 258 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplGraph)
35 iscusgr 27127 . 2 (𝑆 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝑆 ∈ USGraph ∧ 𝑆 ∈ ComplGraph))
367, 34, 35sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnel 3120  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  {csn 4557  cop 4563   I cid 5452  cres 5550  cfv 6348  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759  UPGraphcupgr 26792  USGraphcusgr 26861  UnivVtxcuvtx 27094  ComplGraphccplgr 27118  ComplUSGraphccusgr 27119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-vtx 26710  df-iedg 26711  df-edg 26760  df-uhgr 26770  df-upgr 26794  df-umgr 26795  df-uspgr 26862  df-usgr 26863  df-nbgr 27042  df-uvtx 27095  df-cplgr 27120  df-cusgr 27121
This theorem is referenced by:  cusgrsize  27163
  Copyright terms: Public domain W3C validator