Theorem cusgrsize2inds 27238

Description: Induction step in cusgrsize 27239. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6687	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hashnn0n0nn 13755	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
4	3	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
5		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
6		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
7		eleq1 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
8	7	eqcoms 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
9		nnm1nn0 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
13		nncn 11649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
14		1cnd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 11004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
16	15	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
17	8, 16	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
18	17	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
20		hashdifsnp1 13857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
21	20	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
22	5, 6, 12, 19, 21	syl31anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
23		oveq1 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
24	23	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
25	8	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
26		nnnn0 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
27		hashclb 13722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
28	26, 27	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
29		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
30		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
31	1, 29, 30	cusgrsizeinds 27237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
32		oveq2 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
33	32	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
35		bcn2m1 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
36	35	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
37	36	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
39	34, 38	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
40	39	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
41	40	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
43	42	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
44	43	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
45	28, 44	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
46	45	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
47	46	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
48	47	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
49	25, 48	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
50	49	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
51	50	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
52	24, 51	syl6bi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
53	52	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
54	22, 53	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
55	54	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
56	55	adantllr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
57	4, 56	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
58	57	exp41 437	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
59	58	com25 99	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
60	2, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
61	60	3imp 1107	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
62	61	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3126  {crab 3145  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936  {csn 4570  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  1c1 10541   + caddc 10543   − cmin 10873  ℕcn 11641  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  Ccbc 13665  ♯chash 13693  Vtxcvtx 26784  Edgcedg 26835  ComplUSGraphccusgr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-vtx 26786  df-iedg 26787  df-edg 26836  df-uhgr 26846  df-upgr 26870  df-umgr 26871  df-uspgr 26938  df-usgr 26939  df-fusgr 27102  df-nbgr 27118  df-uvtx 27171  df-cplgr 27196  df-cusgr 27197

This theorem is referenced by:  cusgrsize  27239