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Theorem cusgrsize2inds 26559
Description: Induction step in cusgrsize 26560. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsize2inds (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds
StepHypRef Expression
1 cusgrsizeindb0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fvex 6362 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 hashnn0n0nn 13372 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
54anassrs 683 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6 simplll 815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁𝑉)
8 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 = (♯‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
98eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
10 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1211ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1312imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14 nncn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
15 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1614, 15npcand 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
1716eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
189, 17syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
1918ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)))
2019imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1))
21 brfi1indlem 13470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1)))
2221imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (((♯‘𝑉) − 1) + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
236, 7, 13, 20, 22syl31anc 1480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1))
24 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((♯‘𝑉) − 1)C2))
2524eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
269ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ))
27 nnnn0 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
28 hashclb 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
2927, 28syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
30 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31 cusgrsizeinds.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
321, 30, 31cusgrsizeinds 26558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
33 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)))
3433eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2))))
36 bcn2m1 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) = ((♯‘𝑉)C2))
3736eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3837biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
4035, 39sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2)) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))
4140ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4241com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
44433exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4544com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4629, 45syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4746com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ V → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
4948imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → ((♯‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5026, 49sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5150imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5251com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = (((♯‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5325, 52syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5453com24 95 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5523, 54mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5655ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
5756adantllr 757 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))
585, 57mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
5958exp41 639 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
6059com25 99 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2)))))))
613, 60ax-mp 5 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))))
62613imp 1102 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
6362com12 32 1 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (♯‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((♯‘𝐹) = ((♯‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑉)C2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  Ccbc 13283  chash 13311  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  ComplUSGraphccusgr 26515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-vtx 26075  df-iedg 26076  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-fusgr 26408  df-nbgr 26424  df-uvtx 26486  df-cplgr 26516  df-cusgr 26517
This theorem is referenced by:  cusgrsize  26560
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