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Theorem cvgdvgrat 38829
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio 𝑅 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 converges to less than one, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number; and if 𝑅 converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 14659 and dvgrat 38828 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 14286 and absltd 14212 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191, and how to use r19.29a 3107 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 3060 at https://groups.google.com/forum/#!topic/metamath/2RPikOiXLMo.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgdvgrat.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
cvgdvgrat.n (𝜑𝑁𝑍)
cvgdvgrat.f (𝜑𝐹𝑉)
cvgdvgrat.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgdvgrat.n0 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
cvgdvgrat.r 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
cvgdvgrat.cvg (𝜑𝑅𝐿)
cvgdvgrat.n1 (𝜑𝐿 ≠ 1)
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊   𝑅,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3 elioore 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ)
43ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝑍)
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝐿)
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑘𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))))
131peano2uzs 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)
14 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 + 1) ∈ V
15 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))
1615anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)))
17 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
1916, 18imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)))
20 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑊𝑖𝑊))
2120anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑊) ↔ (𝜑𝑖𝑊)))
22 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2322eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
2421, 23imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)))
251eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
266uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
275, 26sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2825, 27sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3028, 29syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3124, 30chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3214, 19, 31vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3313, 32sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
3533, 30, 34divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3635abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
3712, 36fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
3837, 36eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
391, 9, 10, 38climrecl 14358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4039rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
41 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4241rexri 10135 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
43 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4440, 42, 43sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1)))
4544biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟𝑟 < 1))
4645simp3d 1095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1)
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑟 < 1)
48 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → 𝑛𝑊)
4931ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
5049ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
5150imp 444 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
52 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
5352fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
5453fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
5522fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(𝐹𝑖)))
5655oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5754, 56breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖)))))
5857rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
5958adantll 750 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑖))))
601, 2, 4, 47, 48, 51, 59cvgrat 14659 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
619adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6245simp2d 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟)
63 difrp 11906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6439, 3, 63syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟𝐿) ∈ ℝ+))
6562, 64mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ+)
6637adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
6710adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅𝐿)
681, 61, 65, 66, 67climi2 14286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿))
691uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑊)
7069, 33sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7170anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7271adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7473abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
753ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7669, 30sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7776anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
8079abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
8175, 80remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8269, 34sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8382anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8483adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
8673, 79, 85absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
8772, 78, 84divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
8887abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
8939ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
9088, 89resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
913ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9291, 89resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑟𝐿) ∈ ℝ)
9390, 92absltd 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) ↔ (-(𝑟𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))))
9493simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿))
9573, 79, 85divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
9695abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9739ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
9896, 75, 97ltsub1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝑟𝐿)))
9994, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) < 𝑟)
10086, 99eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟)
10179, 85absrpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
10274, 75, 101ltdivmuld 11961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟)))
103100, 102mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟))
104101rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
10575recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ)
106104, 105mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
107103, 106breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
10874, 81, 107ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
109108ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
110109ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
111110reximdva 3046 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘)))))
11268, 111mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹𝑘))))
11360, 112r19.29a 3107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
114113ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
115114adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
116 ioon0 12239 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
11740, 42, 116sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1))
118117biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅)
119 r19.3rzv 4097 . . . . . 6 ((𝐿(,)1) ≠ ∅ → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
120118, 119syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
121115, 120mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1226, 5, 29iserex 14431 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
123122adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
124121, 123mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
125124ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
126 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ≠ 1)
127 1red 10093 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12839, 127lttri2d 10214 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)))
129126, 128mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))
130129orcanai 972 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿)
131 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛𝑊)
132 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑉)
133132ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹𝑉)
13449ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖𝑊 → (𝐹𝑖) ∈ ℂ))
135134imp 444 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
1361uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖𝑊)
13722neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑖) ≠ 0))
13821, 137imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)))
139138, 34chvarv 2299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑊) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
140136, 139sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑊𝑖 ∈ (ℤ𝑛))) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
141140anassrs 681 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
142141adantllr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
143142adantlr 751 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
14455, 54breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))))
145144rspccva 3339 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
146145adantll 750 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(𝐹𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))
1471, 2, 131, 133, 135, 143, 146dvgrat 38828 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
1489adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
149 difrp 11906 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
15041, 39, 149sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈ ℝ+))
151150biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ+)
15237adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘𝑊) → (𝑅𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
15310adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅𝐿)
1541, 148, 151, 152, 153climi2 14286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1))
15577adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
157156abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15871adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
160159abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
16183adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
163156, 162absrpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
164163rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
165164mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
16639ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ)
167166recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ)
168 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
169167, 168negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿))
170158, 155, 161divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
171170abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
17239ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ)
173171, 172resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ)
174 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
175172, 174resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
176173, 175absltd 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1))))
177176simprbda 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
178169, 177eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿))
179 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
180159, 156, 162divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
181180abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
182179, 181, 166ltsub1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)))
183178, 182mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))))
184159, 156, 162absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
185183, 184breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
186179, 160, 163ltmuldivd 11957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
187185, 186mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
188165, 187eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
189157, 160, 188ltled 10223 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
190189ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
191190ralimdva 2991 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
192191reximdva 3046 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
193154, 192mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
194147, 193r19.29a 3107 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ )
195 df-nel 2927 . . . . . 6 (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
196194, 195sylib 208 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
197122adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
198196, 197mtbird 314 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
199130, 198syldan 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
200199ex 449 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
201125, 200impcon4bid 217 1 (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wral 2941  wrex 2942  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  seqcseq 12841  abscabs 14018  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461
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