Theorem cvgratlem2ALT 7248

Description: Lemma for cvgrat 7255. Using expsubt 6599, restate cvgratlem1ALT 7247 with an absolute index C instead of just an offset from the starting index B.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem1ALT.1	⊢ F:ℕ–→ℝ
cvgratlem1ALT.2	⊢ A ∈ ℝ
cvgratlem1ALT.3	⊢ B ∈ ℕ
cvgratlem1ALT.4	⊢ C ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem2ALT	⊢ ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (B < C → (F ‘C) ≤ (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem cvgratlem2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem1ALT.3	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℕ
2		cvgratlem1ALT.4	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℕ
3	1, 2	nnsub 5958	. . . . 5 ⊢ (B < C ↔ (C − B) ∈ ℕ)
4		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → (B + (C − B)) = (B + if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)))
5	4	fveq2d 3734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → (F ‘(B + (C − B))) = (F ‘(B + if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1))))
6		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → (A↑(C − B)) = (A↑ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)))
7	6	opreq1d 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) = ((A↑ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)) · (F ‘B)))
8	5, 7	breq12d 2636	. . . . . . . 8 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → ((F ‘(B + (C − B))) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) ↔ (F ‘(B + if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1))) ≤ ((A↑ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)) · (F ‘B))))
9	8	imbi2d 614	. . . . . . 7 ⊢ ((C − B) = if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) → (((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘(B + (C − B))) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B))) ↔ ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘(B + if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1))) ≤ ((A↑ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)) · (F ‘B)))))
10		cvgratlem1ALT.1	. . . . . . . 8 ⊢ F:ℕ–→ℝ
11		cvgratlem1ALT.2	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℝ
12		1nn 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	12	elimel 2398	. . . . . . . 8 ⊢ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1) ∈ ℕ
14	10, 11, 1, 13	cvgratlem1ALT 7247	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘(B + if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1))) ≤ ((A↑ if((C − B) ∈ ℕ, (C − B), 1)) · (F ‘B)))
15	9, 14	dedth 2387	. . . . . 6 ⊢ ((C − B) ∈ ℕ → ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘(B + (C − B))) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B))))
16	1	nncn 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
17	2	nncn 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ C ∈ ℂ
18	16, 17	pncan3 5390	. . . . . . . 8 ⊢ (B + (C − B)) = C
19	18	fveq2i 3733	. . . . . . 7 ⊢ (F ‘(B + (C − B))) = (F ‘C)
20	19	breq1i 2631	. . . . . 6 ⊢ ((F ‘(B + (C − B))) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) ↔ (F ‘C) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B)))
21	15, 20	syl6ib 212	. . . . 5 ⊢ ((C − B) ∈ ℕ → ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘C) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B))))
22	3, 21	sylbi 199	. . . 4 ⊢ (B < C → ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (F ‘C) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B))))
23	22	impcom 351	. . 3 ⊢ (((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) ⋀ B < C) → (F ‘C) ≤ ((A↑(C − B)) · (F ‘B)))
24	11	recn 5326	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℂ
25	24, 2, 1	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ)
26		expsubt 6599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ0 ⋀ B ∈ ℕ0) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ B ≤ C)) → (A↑(C − B)) = ((A↑C) / (A↑B)))
27		id 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → A ∈ ℂ)
28		nnnn0t 6108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (C ∈ ℕ → C ∈ ℕ0)
29		nnnn0t 6108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℕ0)
30	27, 28, 29	3anim123i 823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → (A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ0 ⋀ B ∈ ℕ0))
31	30	adantr 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ B < C)) → (A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ0 ⋀ B ∈ ℕ0))
32		ltlet 5532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (B < C → B ≤ C))
33		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℝ)
34		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (C ∈ ℕ → C ∈ ℝ)
35	32, 33, 34	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ ℕ ⋀ C ∈ ℕ) → (B < C → B ≤ C))
36	35	ancoms 438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → (B < C → B ≤ C))
37	36	3adant1 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → (B < C → B ≤ C))
38	37	anim2d 563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) → ((A ≠ 0 ⋀ B < C) → (A ≠ 0 ⋀ B ≤ C)))
39	38	imp 350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ B < C)) → (A ≠ 0 ⋀ B ≤ C))
40	26, 31, 39	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ ⋀ B ∈ ℕ) ⋀ (A ≠ 0 ⋀ B < C)) → (A↑(C − B)) = ((A↑C) / (A↑B)))
41	25, 40	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ ((A ≠ 0 ⋀ B < C) → (A↑(C − B)) = ((A↑C) / (A↑B)))
42	11	gt0ne0 5623	. . . . . . 7 ⊢ (0 < A → A ≠ 0)
43	41, 42	sylan 450	. . . . . 6 ⊢ ((0 < A ⋀ B < C) → (A↑(C − B)) = ((A↑C) / (A↑B)))
44	43	opreq1d 3981	. . . . 5 ⊢ ((0 < A ⋀ B < C) → ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) = (((A↑C) / (A↑B)) · (F ‘B)))
45		expgt0t 6590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℕ0 ⋀ 0 < A) → 0 < (A↑B))
46	45, 29	syl3an2 862	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℕ ⋀ 0 < A) → 0 < (A↑B))
47	11, 1, 46	mp3an12 908	. . . . . . 7 ⊢ (0 < A → 0 < (A↑B))
48		reexpclt 6581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℕ0) → (A↑B) ∈ ℝ)
49	48, 29	sylan2 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ ℝ)
50	11, 1, 49	mp2an 699	. . . . . . . 8 ⊢ (A↑B) ∈ ℝ
51	50	gt0ne0 5623	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (A↑B) → (A↑B) ≠ 0)
52	10	ffvelrni 3821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℕ → (F ‘B) ∈ ℝ)
53	1, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (F ‘B) ∈ ℝ
54	53	recn 5326	. . . . . . . . 9 ⊢ (F ‘B) ∈ ℂ
55	50	recn 5326	. . . . . . . . 9 ⊢ (A↑B) ∈ ℂ
56		expclt 6582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ0) → (A↑C) ∈ ℂ)
57	56, 28	sylan2 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℕ) → (A↑C) ∈ ℂ)
58	24, 2, 57	mp2an 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (A↑C) ∈ ℂ
59	54, 55, 58	3pm3.2i 820	. . . . . . . 8 ⊢ ((F ‘B) ∈ ℂ ⋀ (A↑B) ∈ ℂ ⋀ (A↑C) ∈ ℂ)
60		div13t 5750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((F ‘B) ∈ ℂ ⋀ (A↑B) ∈ ℂ ⋀ (A↑C) ∈ ℂ) ⋀ (A↑B) ≠ 0) → (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)) = (((A↑C) / (A↑B)) · (F ‘B)))
61	59, 60	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ ((A↑B) ≠ 0 → (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)) = (((A↑C) / (A↑B)) · (F ‘B)))
62	47, 51, 61	3syl 20	. . . . . 6 ⊢ (0 < A → (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)) = (((A↑C) / (A↑B)) · (F ‘B)))
63	62	adantr 391	. . . . 5 ⊢ ((0 < A ⋀ B < C) → (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)) = (((A↑C) / (A↑B)) · (F ‘B)))
64	44, 63	eqtr4d 1513	. . . 4 ⊢ ((0 < A ⋀ B < C) → ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) = (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)))
65	64	adantlr 395	. . 3 ⊢ (((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) ⋀ B < C) → ((A↑(C − B)) · (F ‘B)) = (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)))
66	23, 65	breqtrd 2644	. 2 ⊢ (((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) ⋀ B < C) → (F ‘C) ≤ (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C)))
67	66	ex 373	1 ⊢ ((0 < A ⋀ ∀x ∈ ℕ (B ≤ x → (F ‘(x + 1)) < (A · (F ‘x)))) → (B < C → (F ‘C) ≤ (((F ‘B) / (A↑B)) · (A↑C))))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∀wral 1648   ifcif 2365   class class class wbr 2624  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℕcn 5308  ℕ₀cn0 5309   < clt 5498  ↑cexp 6569

This theorem is referenced by:  cvgratlem3ALT 7249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain