Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatcvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatcvr2 34448
 Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlatcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlatcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatcvr2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑄 𝑃)))

Proof of Theorem cvlatcvr2
StepHypRef Expression
1 cvlatcvr1.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 cvlatcvr1.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 cvlatcvr1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3cvlatcvr1 34447 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
5 simp13 1091 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
6 cvllat 34432 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
8 eqid 2620 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
98, 3atbase 34395 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1093ad2ant2 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
118, 3atbase 34395 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1082 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
138, 1latjcom 17040 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
147, 10, 12, 13syl3anc 1324 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
1514breq2d 4656 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑄) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑃)))
164, 15bitrd 268 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑄 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  joincjn 16925  Latclat 17026  CLatccla 17088  OMLcoml 34281   ⋖ ccvr 34368  Atomscatm 34369  CvLatclc 34371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428 This theorem is referenced by:  atcvr2  34523
 Copyright terms: Public domain W3C validator