Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlcvrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlcvrp 34453
 Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 29218 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvrp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvrp.j = (join‘𝐾)
cvlcvrp.m = (meet‘𝐾)
cvlcvrp.z 0 = (0.‘𝐾)
cvlcvrp.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvrp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvrp (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvrp
StepHypRef Expression
1 simp13 1092 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 34439 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1061 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvrp.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvrp.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 34402 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1083 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvrp.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
105, 9latmcom 17069 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
113, 4, 8, 10syl3anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
1211eqeq1d 2623 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
13 cvlatl 34438 . . . 4 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
141, 13syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
15 simp3 1062 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
16 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17 cvlcvrp.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
185, 16, 9, 17, 6atnle 34430 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
1914, 15, 4, 18syl3anc 1325 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
20 cvlcvrp.j . . 3 = (join‘𝐾)
21 cvlcvrp.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
225, 16, 20, 21, 6cvlcvr1 34452 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
2312, 19, 223bitr2d 296 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  lecple 15942  joincjn 16938  meetcmee 16939  0.cp0 17031  Latclat 17039  CLatccla 17101  OMLcoml 34288   ⋖ ccvr 34375  Atomscatm 34376  AtLatcal 34377  CvLatclc 34378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435 This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  34454  cvrp  34528
 Copyright terms: Public domain W3C validator