Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmcov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmcov2 30962
 Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmcov2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 simp3 1061 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃𝑈)
3 simp2 1060 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑈𝐽)
4 elunii 4407 . . . 4 ((𝑃𝑈𝑈𝐽) → 𝑃 𝐽)
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃 𝐽)
6 cvmcov.1 . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
7 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
86, 7cvmcov 30950 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 𝐽) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
91, 5, 8syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
10 inss2 3812 . . . . 5 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈
11 vex 3189 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1211inex1 4759 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ∈ V
1312elpw 4136 . . . . 5 ((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈)
1410, 13mpbir 221 . . . 4 (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
1514a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16 simprrl 803 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑦)
172adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑈)
1816, 17elind 3776 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦𝑈))
19 simprrr 804 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
201adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21 cvmtop2 30948 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23 simprl 793 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦𝐽)
243adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈𝐽)
25 inopn 20629 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽𝑈𝐽) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
27 inss1 3811 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦
2827a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦)
296cvmsss2 30961 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3020, 26, 28, 29syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3119, 30mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)
32 eleq2 2687 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑦𝑈)))
33 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑦𝑈)))
3433neeq1d 2849 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑆𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3532, 34anbi12d 746 . . . 4 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)))
3635rspcev 3295 . . 3 (((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
3715, 18, 31, 36syl12anc 1321 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
389, 37rexlimddv 3028 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911   ∖ cdif 3552   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  ∪ cuni 4402   ↦ cmpt 4673  ◡ccnv 5073   ↾ cres 5076   “ cima 5077  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↾t crest 16002  Topctop 20617  Homeochmeo 21466   CovMap ccvm 30942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-fin 7903  df-fi 8261  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cn 20941  df-hmeo 21468  df-cvm 30943 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator