Theorem cvmlift2lem1 32544

Description: Lemma for cvmlift2 32558. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem1	⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimp 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2		iitop 23482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ II ∈ Top
3		iiuni 23483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
4	3	neii1 21708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
5	2, 4	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
6	5	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7		xpss1 5568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
10	8, 9	sstrd 3976	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11		ssnei 21712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
12	2, 11	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14		vex 3497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	snss 4711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
16	13, 15	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ 𝑢)
17		vsnid 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑡 ∈ {𝑡}
18		opelxpi 5586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
19	16, 17, 18	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20		ssel 3960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
21	19, 20	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
22	10, 21	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
23	1, 22	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
24	23	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
25	24	ralimdv 3178	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
26	25	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27		dfss3 3955	. . 3 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀)
28		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
29	28	ralxp 5706	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧 ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑡 ∈ V
31		opeq2 4797	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
32	31	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
33	30, 32	ralsn 4612	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
34	33	ralbii 3165	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
35	27, 29, 34	3bitri 299	. 2 ⊢ (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
36	26, 35	syl6ibr 254	1 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ⟨cop 4566   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532  [,]cicc 12735  Topctop 21495  neicnei 21699  IIcii 23477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-icc 12739  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-nei 21700  df-ii 23479

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32556