Theorem cvmlift2lem2 32551

Description: Lemma for cvmlift2 32563. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem2	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
3		cvmlift2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		iitopon 23486	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	5	cnmptid 22268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
7		0elunit 12854	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
9	5, 5, 8	cnmptc 22269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10		cvmlift2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
11	5, 6, 9, 10	cnmpt12f 22273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∈ (II Cn 𝐽))
12		cvmlift2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
13		cvmlift2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
14		oveq1 7162	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧𝐺0) = (0𝐺0))
15		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
16		ovex 7188	. . . . 5 ⊢ (0𝐺0) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6767	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘0) = (0𝐺0))
18	7, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘0) = (0𝐺0)
19	13, 18	syl6eqr 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘0))
20	1, 2, 3, 11, 12, 19	cvmliftiota 32548	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4837   ↦ cmpt 5145   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6354  ℩crio 7112  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537  [,]cicc 12740  TopOnctopon 21517   Cn ccn 21831   ×_t ctx 22167  IIcii 23482   CovMap ccvm 32502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-ec 8290  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-cmp 21994  df-conn 22019  df-lly 22073  df-nlly 22074  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-ii 23484  df-htpy 23573  df-phtpy 23574  df-phtpc 23595  df-pconn 32468  df-sconn 32469  df-cvm 32503

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem3  32552  cvmlift2lem12  32561  cvmlift2lem13  32562