Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem3 32449
Description: Lemma for cvmlift2 32460. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2lem3.1 . 2 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
3 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
43adantr 481 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 iitopon 23414 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
86, 6, 7cnmptc 22198 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
96cnmptid 22197 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
126, 8, 9, 11cnmpt12f 22202 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13 cvmlift2.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
14 cvmlift2.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
15 cvmlift2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 32448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
1716simp1d 1134 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18 iiuni 23416 . . . . 5 (0[,]1) = II
1918, 1cnf 21782 . . . 4 (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2120ffvelrnda 6843 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻𝑋) ∈ 𝐵)
22 0elunit 12843 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
23 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24 eqid 2818 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25 ovex 7178 . . . . 5 (𝑋𝐺0) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6761 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2722, 26mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2816simp2d 1135 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
2928fveq1d 6665 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31 eqid 2818 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
3230, 31, 25fvmpt 6761 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
3329, 32sylan9eq 2873 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34 fvco3 6753 . . . 4 ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3520, 34sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3627, 33, 353eqtr2rd 2860 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 32445 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   cuni 4830  cmpt 5137  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  [,]cicc 12729  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760   ×t ctx 22096  IIcii 23410   CovMap ccvm 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-conn 21948  df-lly 22002  df-nlly 22003  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pconn 32365  df-sconn 32366  df-cvm 32400
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  32451  cvmlift2lem6  32452  cvmlift2lem7  32453  cvmlift2lem8  32454
  Copyright terms: Public domain W3C validator