Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem9 31036
Description: Lemma for cvmlift2 31041. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem9.1 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
cvmlift2lem9.2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
cvmlift2lem9.3 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem9.4 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem9.5 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.6 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.7 (𝜑𝑋𝑈)
cvmlift2lem9.8 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem9.9 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
cvmlift2lem9.10 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem9.11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
cvmlift2lem9.w 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑀,𝑏,𝑐,𝑑,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠   𝑧,𝑈   𝐺,𝑏,𝑐,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑   𝐻,𝑏,𝑐,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑀(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 iitop 22606 . . 3 II ∈ Top
3 iiuni 22607 . . 3 (0[,]1) = II
42, 2, 3, 3txunii 21319 . 2 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
5 cvmlift2lem10.s . 2 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
6 cvmlift2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7 cvmlift2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8 cvmlift2.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift2.i . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
10 cvmlift2.h . . 3 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
11 cvmlift2.k . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 31032 . 2 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 31034 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
1413, 7eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
152, 2txtopi 21316 . . 3 (II ×t II) ∈ Top
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Top)
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ II)
18 elssuni 4438 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
1918, 3syl6sseqr 3636 . . . . 5 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
2017, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (0[,]1))
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2220, 21sseldd 3588 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ II)
24 elssuni 4438 . . . . . 6 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2524, 3syl6sseqr 3636 . . . . 5 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑉 ⊆ (0[,]1))
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2826, 27sseldd 3588 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
29 opelxpi 5113 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3022, 28, 29syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 cvmlift2lem9.2 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
3212, 22, 28fovrnd 6766 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵)
33 fvco3 6237 . . . . . . . 8 ((𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3412, 30, 33syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3513fveq1d 6155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
3634, 35eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
37 df-ov 6613 . . . . . . 7 (𝑋𝐾𝑌) = (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3837fveq2i 6156 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
39 df-ov 6613 . . . . . 6 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4036, 38, 393eqtr4g 2680 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝑋𝐺𝑌))
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
4240, 41eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
445, 1, 43cvmsiota 31002 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)) → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1325 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
4637eleq1i 2689 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
4746anbi2i 729 . . 3 ((𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊) ↔ (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
4845, 47sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
49 xpss12 5191 . . 3 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
5020, 26, 49syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
51 snidg 4182 . . . . . . 7 (𝑚𝑈𝑚 ∈ {𝑚})
5251ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ {𝑚})
53 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑛𝑉)
54 ovres 6760 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑛𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
5552, 53, 54syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
56 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))
572a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → II ∈ Top)
58 snex 4874 . . . . . . . . . . 11 {𝑚} ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ∈ V)
6023adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ∈ II)
61 txrest 21357 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑚} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
63 iitopon 22605 . . . . . . . . . . . 12 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
6420sselda 3587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑈) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
6564adantrr 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
66 restsn2 20898 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑚 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
6763, 65, 66sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
68 pwsn 4401 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑚} = {∅, {𝑚}}
69 indisconn 21144 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝑚}} ∈ Conn
7068, 69eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝒫 {𝑚} ∈ Conn
7167, 70syl6eqel 2706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) ∈ Conn)
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
7372adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
74 txconn 21415 . . . . . . . . . 10 (((II ↾t {𝑚}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7571, 73, 74syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7662, 75eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) ∈ Conn)
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 31033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7865, 77syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7926adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
80 xpss2 5195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8265snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ (0[,]1))
83 xpss1 5194 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑚} ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
854restuni 20889 . . . . . . . . . . . . 13 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8615, 84, 85sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8781, 86sseqtrd 3625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
88 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))
8988cnrest 21012 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9078, 87, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9181resabs1d 5392 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)))
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ×t II) ∈ Top)
93 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
9458, 93xpex 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V)
96 restabs 20892 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)) ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9792, 81, 95, 96syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9897oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9990, 91, 983eltr3d 2712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
100 cvmtop1 30985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ Top)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ Top)
1031toptopon 20657 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
104102, 103sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
105 df-ima 5092 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))
106 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚𝑈)
107106snssd 4314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ 𝑈)
108 xpss1 5194 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} ⊆ 𝑈 → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
109 imass2 5465 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
112 imaco 5604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐾 “ (𝐹𝑀))
113 cnvco 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐾) = (𝐾𝐹)
11413cnveqd 5263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑(𝐹𝐾) = 𝐺)
115113, 114syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾𝐹) = 𝐺)
116115imaeq1d 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐺𝑀))
117112, 116syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 “ (𝐹𝑀)) = (𝐺𝑀))
118111, 117sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀)))
119 ffun 6010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 → Fun 𝐾)
12012, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐾)
121 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 → dom 𝐾 = ((0[,]1) × (0[,]1)))
12212, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐾 = ((0[,]1) × (0[,]1)))
12350, 122sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾)
124 funimass3 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
125120, 123, 124syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
126118, 125mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
128110, 127sstrd 3597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
129105, 128syl5eqssr 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
130 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑀) ⊆ dom 𝐹
131 cvmcn 30987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
133 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
1341, 133cnf 20973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
135 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵)
136132, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
137130, 136syl5sseq 3637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
138137adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
139 cnrest2 21013 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
140104, 129, 138, 139syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
14199, 140mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
1425cvmsss 30992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇𝐶)
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐶)
14445simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝑇)
145143, 144sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐶)
146 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 𝑇)
1485cvmsuni 30994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇 = (𝐹𝑀))
14931, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑇 = (𝐹𝑀))
150147, 149sseqtrd 3625 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))
1515cvmsrcl 30989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑀𝐽)
15231, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀𝐽)
153 cnima 20992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) ∧ 𝑀𝐽) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
154132, 152, 153syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
155 restopn2 20904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐶) → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
156101, 154, 155syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
157145, 150, 156mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
158157adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
1595cvmscld 30998 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
1606, 31, 144, 159syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
161160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
162 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍𝑉)
163162adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍𝑉)
164 opelxpi 5113 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16552, 163, 164syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16681, 84sstrd 3597 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
1674restuni 20889 . . . . . . . . . 10 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
16815, 166, 167sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
169165, 168eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
170 df-ov 6613 . . . . . . . . . 10 (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩)
171 ovres 6760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
17252, 163, 171syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
173 snidg 4182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
174162, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
175174adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍 ∈ {𝑍})
176 ovres 6760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
177106, 175, 176syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
178172, 177eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
179170, 178syl5eqr 2669 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
180 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))
1812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → II ∈ Top)
182 snex 4874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑍} ∈ V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
184 txrest 21357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ {𝑍} ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
185181, 181, 17, 183, 184syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
186 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
18726, 162sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
188 restsn2 20898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑍 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
18963, 187, 188sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
190 pwsn 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝒫 {𝑍} = {∅, {𝑍}}
191 indisconn 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {∅, {𝑍}} ∈ Conn
192190, 191eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 {𝑍} ∈ Conn
193189, 192syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn)
194 txconn 21415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ↾t 𝑈) ∈ Conn ∧ (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn) → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
195186, 193, 194syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
196185, 195eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) ∈ Conn)
197 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
198101, 103sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
199 df-ima 5092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) = ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))
200162snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
201 xpss2 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
202 imass2 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
203200, 201, 2023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
204203, 126sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
205199, 204syl5eqssr 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
206 cnrest2 21013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
207198, 205, 137, 206syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
208197, 207mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
209 opelxpi 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
21021, 174, 209syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
211187snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
212 xpss12 5191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
21320, 211, 212syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2144restuni 20889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
21515, 213, 214sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
216210, 215eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
217 df-ov 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩)
218 ovres 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
21921, 174, 218syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
220 snidg 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋𝑈𝑋 ∈ {𝑋})
22121, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ {𝑋})
222 ovres 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
223221, 162, 222syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
224219, 223eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
225217, 224syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
226 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))
227 snex 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑋} ∈ V
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
229 txrest 21357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
230181, 181, 228, 23, 229syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
231 restsn2 20898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
23263, 22, 231sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
233 pwsn 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝒫 {𝑋} = {∅, {𝑋}}
234 indisconn 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {∅, {𝑋}} ∈ Conn
235233, 234eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝒫 {𝑋} ∈ Conn
236232, 235syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) ∈ Conn)
237 txconn 21415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ↾t {𝑋}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
238236, 72, 237syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
239230, 238eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) ∈ Conn)
2401, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 31033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
24122, 240mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
242 xpss2 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24323, 25, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24422snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
245 xpss1 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑋} ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2474restuni 20889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
24815, 246, 247sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
249243, 248sseqtrd 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
250 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))
251250cnrest 21012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
252241, 249, 251syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
253243resabs1d 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)))
254227, 93xpex 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V)
256 restabs 20892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)) ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
25716, 243, 255, 256syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
258257oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
259252, 253, 2583eltr3d 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
260 df-ima 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))
26121snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑈)
262 xpss1 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} ⊆ 𝑈 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
263 imass2 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
264261, 262, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
265264, 126sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
266260, 265syl5eqssr 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
267 cnrest2 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
268198, 266, 137, 267syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
269259, 268mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
270 opelxpi 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
271221, 27, 270syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
272261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
273272, 50sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2744restuni 20889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
27515, 273, 274sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
276271, 275eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
277 df-ov 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
278 ovres 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
279221, 27, 278syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
280277, 279syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐾𝑌))
28145simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊)
282280, 281eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
283226, 239, 269, 157, 160, 276, 282conncn 21152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊)
284275feq2d 5993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊))
285283, 284mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊)
286285, 221, 162fovrnd 6766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) ∈ 𝑊)
287225, 286eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
288180, 196, 208, 157, 160, 216, 287conncn 21152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊)
289215feq2d 5993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊))
290288, 289mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
291290adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
292291, 106, 175fovrnd 6766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) ∈ 𝑊)
293179, 292eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
29456, 76, 141, 158, 161, 169, 293conncn 21152 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊)
295168feq2d 5993 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊))
296294, 295mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊)
297296, 52, 53fovrnd 6766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) ∈ 𝑊)
29855, 297eqeltrrd 2699 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
299298ralrimivva 2966 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
300 funimassov 6771 . . . 4 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
301120, 123, 300syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
302299, 301mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊)
3031, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 302cvmlift2lem9a 31028 1 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155  cop 4159   cuni 4407  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  cima 5082  ccom 5083  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  crio 6570  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  0cc0 9888  1c1 9889  [,]cicc 12128  t crest 16013  Topctop 20630  TopOnctopon 20647  Clsdccld 20743   Cn ccn 20951  Conncconn 21137   ×t ctx 21286  Homeochmeo 21479  IIcii 22601   CovMap ccvm 30980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-cmp 21113  df-conn 21138  df-lly 21192  df-nlly 21193  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-ii 22603  df-htpy 22692  df-phtpy 22693  df-phtpc 22714  df-pconn 30946  df-sconn 30947  df-cvm 30981
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  31037
  Copyright terms: Public domain W3C validator