Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem5 32467
Description: Lemma for cvmlift2 32460. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑔,𝑥   𝑓,𝐽   𝑥,𝑔,𝐽   𝑓,𝐹,𝑔   𝑥,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑧   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑂,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem cvmlift3lem5
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦)
2 cvmlift3.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐶
3 cvmlift3.y . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
4 cvmlift3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmlift3.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
6 cvmlift3.l . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
7 cvmlift3.o . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑌)
8 cvmlift3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
9 cvmlift3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
10 cvmlift3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
11 cvmlift3.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 32466 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝐻𝑦) = (𝐻𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦))))
131, 12mpbii 234 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)))
14 df-3an 1081 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)))
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
164ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
17 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
188ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
19 cnco 21802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝐺𝑓) ∈ (II Cn 𝐽))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺𝑓) ∈ (II Cn 𝐽))
219ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑃𝐵)
22 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑓‘0) = 𝑂)
2322fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝑓‘0)) = (𝐺𝑂))
24 iiuni 23416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) = II
2524, 3cnf 21782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑌)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑌)
27 0elunit 12843 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]1)
28 fvco3 6753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑓)‘0) = (𝐺‘(𝑓‘0)))
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘0) = (𝐺‘(𝑓‘0)))
3010ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
3123, 29, 303eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹𝑃) = ((𝐺𝑓)‘0))
322, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 32445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))) = (𝐺𝑓) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = 𝑃))
3332simp2d 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))) = (𝐺𝑓))
3433fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = ((𝐺𝑓)‘1))
3532simp1d 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶))
3624, 2cnf 21782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵)
38 1elunit 12844 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
39 fvco3 6753 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
41 fvco3 6753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺‘(𝑓‘1)))
4226, 38, 41sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺‘(𝑓‘1)))
43 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑓‘1) = 𝑦)
4443fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝑓‘1)) = (𝐺𝑦))
4542, 44eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺𝑦))
4634, 40, 453eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)) = (𝐺𝑦))
47 fveqeq2 6672 . . . . . . . 8 (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦) → ((𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
4846, 47syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
4948expimpd 454 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5014, 49syl5bi 243 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5150rexlimdva 3281 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5213, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦))
5352mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝐹‘(𝐻𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝐺𝑦)))
542, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 32465 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑌𝐵)
5554ffvelrnda 6843 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
5654feqmptd 6726 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑦𝑌 ↦ (𝐻𝑦)))
57 cvmcn 32406 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
58 eqid 2818 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
592, 58cnf 21782 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
604, 57, 593syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
6160feqmptd 6726 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐵 ↦ (𝐹𝑤)))
62 fveq2 6663 . . 3 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐻𝑦)))
6355, 56, 61, 62fmptco 6883 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑦𝑌 ↦ (𝐹‘(𝐻𝑦))))
643, 58cnf 21782 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
658, 64syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
6665feqmptd 6726 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑦𝑌 ↦ (𝐺𝑦)))
6753, 63, 663eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   cuni 4830  cmpt 5137  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  [,]cicc 12729   Cn ccn 21760  𝑛-Locally cnlly 22001  IIcii 23410  PConncpconn 32363  SConncsconn 32364   CovMap ccvm 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-conn 21948  df-lly 22002  df-nlly 22003  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pco 23536  df-pconn 32365  df-sconn 32366  df-cvm 32400
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem6  32468  cvmlift3lem7  32469  cvmlift3lem9  32471
  Copyright terms: Public domain W3C validator