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Theorem cvmliftmolem1 30998
Description: Lemma for cvmliftmo 31001. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
cvmliftmolem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftmolem.2 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
cvmliftmolem.3 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
cvmliftmolem.4 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
cvmliftmolem.5 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
cvmliftmolem.6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝐼)
cvmliftmolem.7 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
cvmliftmolem.8 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
cvmliftmolem.9 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑋)) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑣,𝐵   𝐾,𝑠   𝑘,𝑀,𝑠,𝑢,𝑣   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑆,𝑠   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑅(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐼(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑊(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑘)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
32fveq1d 6155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = ((𝐹𝑁)‘𝑅))
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
64, 5sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ (𝑀𝑊))
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = 𝐾
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = 𝐶
108, 9cnf 20969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑀:𝑌𝐵)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀:𝑌𝐵)
12 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:𝑌𝐵𝑀 Fn 𝑌)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 Fn 𝑌)
14 elpreima 6298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1615simprbda 652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑅𝑌)
176, 16syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝑌)
18 fvco3 6237 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1911, 18sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
2017, 19syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
21 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
228, 9cnf 20969 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑁:𝑌𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁:𝑌𝐵)
24 fvco3 6237 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2523, 24sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2617, 25syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
273, 20, 263eqtr3d 2663 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2827adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2915simplbda 653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
306, 29syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
3130adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
32 fvres 6169 . . . . . . 7 ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
345adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑅𝐼)
35 fvres 6169 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t 𝐼) = (𝐾t 𝐼)
38 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
4021adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
41 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀𝑊) ⊆ dom 𝑀
42 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀:𝑌𝐵 → dom 𝑀 = 𝑌)
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑌)
4441, 43syl5sseq 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
464, 45sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐼𝑌)
478cnrest 21008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ 𝐼𝑌) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
4840, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
49 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
51 cvmtop1 30977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ Top)
539toptopon 20653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5452, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
55 df-ima 5092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐼) = ran (𝑁𝐼)
56 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
57 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑊 𝑇)
59 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
60 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
6160cvmsuni 30986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6358, 62sseqtrd 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (𝐹𝑈))
64 imass2 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
664, 65sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
672cnveqd 5263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
68 cnvco 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑀) = (𝑀𝐹)
69 cnvco 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑁) = (𝑁𝐹)
7067, 68, 693eqtr3g 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐹) = (𝑁𝐹))
7170imaeq1d 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = ((𝑁𝐹) “ 𝑈))
72 imaco 5604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = (𝑀 “ (𝐹𝑈))
73 imaco 5604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐹) “ 𝑈) = (𝑁 “ (𝐹𝑈))
7471, 72, 733eqtr3g 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑀 “ (𝐹𝑈)) = (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7566, 74sseqtrd 3625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → 𝑁:𝑌𝐵)
77 ffun 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁:𝑌𝐵 → Fun 𝑁)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → Fun 𝑁)
79 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁:𝑌𝐵 → dom 𝑁 = 𝑌)
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → dom 𝑁 = 𝑌)
8146, 80sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ dom 𝑁)
82 funimass3 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝑁𝐼 ⊆ dom 𝑁) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
8378, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
8475, 83mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
8555, 84syl5eqssr 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
86 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑈) ⊆ dom 𝐹
87 cvmcn 30979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
8849, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
89 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = 𝐽
909, 89cnf 20969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
92 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → dom 𝐹 = 𝐵)
9586, 94syl5sseq 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵)
96 cnrest2 21009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9754, 85, 95, 96syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9848, 97mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
9998adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
100 df-ss 3573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) ↔ (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
10163, 100sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
1029topopn 20639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ Top → 𝐵𝐶)
10352, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵𝐶)
104103, 95ssexd 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ∈ V)
10560cvmsss 30984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇𝐶)
10659, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑇𝐶)
107106, 56sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝐶)
108 elrestr 16017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑈) ∈ V ∧ 𝑊𝐶) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10952, 104, 107, 108syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
110101, 109eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
11260cvmscld 30990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
11350, 59, 56, 112syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
115 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
116 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
117 conntop 21139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Top)
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ Top)
1208restuni 20885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
121119, 46, 120syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
122115, 121eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
123122adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
124115adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄𝐼)
125 fvres 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄))
1284, 115sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑄 ∈ (𝑀𝑊))
129 elpreima 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
13013, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
131130simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
132128, 131syldan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
134127, 133eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑄) ∈ 𝑊)
135126, 134eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) ∈ 𝑊)
13637, 39, 99, 111, 114, 123, 135conncn 21148 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊)
137121adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
138137feq2d 5993 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼):𝐼𝑊 ↔ (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊))
139136, 138mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼):𝐼𝑊)
140139, 34ffvelrnd 6321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) ∈ 𝑊)
14136, 140eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)
142 fvres 6169 . . . . . . 7 ((𝑁𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
143141, 142syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
14428, 33, 1433eqtr4d 2665 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)))
14560cvmsf1o 30989 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
14650, 59, 56, 145syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
147 f1of1 6098 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈 → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
148146, 147syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
149148adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
150 f1fveq 6479 . . . . . 6 (((𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈 ∧ ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 ∧ (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
151149, 31, 141, 150syl12anc 1321 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
152144, 151mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅))
153152ex 450 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝑄) = (𝑁𝑄) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
154130simprbda 652 . . . . 5 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑄𝑌)
155128, 154syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝑌)
156 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑄))
157 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑄))
158156, 157eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑄 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
159158elrab3 3351 . . . 4 (𝑄𝑌 → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
160155, 159syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
161 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑅))
162 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
163161, 162eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
164163elrab3 3351 . . . 4 (𝑅𝑌 → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
16517, 164syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
166153, 160, 1653imtr4d 283 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} → 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
167 ffn 6007 . . . . . 6 (𝑁:𝑌𝐵𝑁 Fn 𝑌)
16823, 167syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 Fn 𝑌)
169 fndmin 6285 . . . . 5 ((𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
17013, 168, 169syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
171170adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
172171eleq2d 2684 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
173171eleq2d 2684 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
174166, 172, 1733imtr4d 283 1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   cuni 4407  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  cima 5082  ccom 5083  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  t crest 16009  Topctop 20626  TopOnctopon 20643  Clsdccld 20739   Cn ccn 20947  Conncconn 21133  𝑛-Locally cnlly 21187  Homeochmeo 21475   CovMap ccvm 30972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-fin 7910  df-fi 8268  df-rest 16011  df-topgen 16032  df-top 20627  df-topon 20644  df-bases 20670  df-cld 20742  df-cn 20950  df-conn 21134  df-hmeo 21477  df-cvm 30973
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  30999
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