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Theorem cvmliftmolem1 32425
Description: Lemma for cvmliftmo 32428. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
cvmliftmolem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftmolem.2 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
cvmliftmolem.3 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
cvmliftmolem.4 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
cvmliftmolem.5 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
cvmliftmolem.6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝐼)
cvmliftmolem.7 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
cvmliftmolem.8 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
cvmliftmolem.9 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑋)) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑣,𝐵   𝐾,𝑠   𝑘,𝑀,𝑠,𝑢,𝑣   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑆,𝑠   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑅(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐼(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑊(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑘)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
32fveq1d 6665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = ((𝐹𝑁)‘𝑅))
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
64, 5sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ (𝑀𝑊))
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = 𝐾
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = 𝐶
108, 9cnf 21782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑀:𝑌𝐵)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀:𝑌𝐵)
1211ffnd 6508 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 Fn 𝑌)
13 elpreima 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1514simprbda 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑅𝑌)
166, 15syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝑌)
17 fvco3 6753 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1811, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1916, 18syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
20 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
218, 9cnf 21782 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑁:𝑌𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁:𝑌𝐵)
23 fvco3 6753 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2422, 23sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2516, 24syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
263, 19, 253eqtr3d 2861 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2726adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2814simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
296, 28syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
31 fvres 6682 . . . . . . 7 ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
335adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑅𝐼)
34 fvres 6682 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
36 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t 𝐼) = (𝐾t 𝐼)
37 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3920adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
40 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀𝑊) ⊆ dom 𝑀
4140, 11fssdm 6523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
434, 42sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐼𝑌)
448cnrest 21821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ 𝐼𝑌) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
4539, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
46 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
48 cvmtop1 32404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ Top)
509toptopon 21453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5149, 50sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
52 df-ima 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐼) = ran (𝑁𝐼)
53 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
54 elssuni 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑊 𝑇)
56 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
57 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
5857cvmsuni 32413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6055, 59sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (𝐹𝑈))
61 imass2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
634, 62sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
642cnveqd 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
65 cnvco 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑀) = (𝑀𝐹)
66 cnvco 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑁) = (𝑁𝐹)
6764, 65, 663eqtr3g 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐹) = (𝑁𝐹))
6867imaeq1d 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = ((𝑁𝐹) “ 𝑈))
69 imaco 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = (𝑀 “ (𝐹𝑈))
70 imaco 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐹) “ 𝑈) = (𝑁 “ (𝐹𝑈))
7168, 69, 703eqtr3g 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑀 “ (𝐹𝑈)) = (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7263, 71sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → 𝑁:𝑌𝐵)
7473ffund 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → Fun 𝑁)
7573fdmd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → dom 𝑁 = 𝑌)
7643, 75sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ dom 𝑁)
77 funimass3 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝑁𝐼 ⊆ dom 𝑁) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
7972, 78mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
8052, 79eqsstrrid 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
81 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑈) ⊆ dom 𝐹
82 cvmcn 32406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
8346, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
84 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = 𝐽
859, 84cnf 21782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
8786fdmd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → dom 𝐹 = 𝐵)
8981, 88sseqtrid 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵)
90 cnrest2 21822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9151, 80, 89, 90syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9245, 91mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
94 df-ss 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) ↔ (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
9560, 94sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
969topopn 21442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ Top → 𝐵𝐶)
9749, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵𝐶)
9897, 89ssexd 5219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ∈ V)
9957cvmsss 32411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇𝐶)
10056, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑇𝐶)
101100, 53sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝐶)
102 elrestr 16690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑈) ∈ V ∧ 𝑊𝐶) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10349, 98, 101, 102syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10495, 103eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10657cvmscld 32417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
10747, 56, 53, 106syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
109 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
110 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
111 conntop 21953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Top)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ Top)
1148restuni 21698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
115113, 43, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
116109, 115eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
117116adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
118109adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄𝐼)
119 fvres 6682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
121 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄))
1224, 109sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑄 ∈ (𝑀𝑊))
123 elpreima 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
12412, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
125124simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
126122, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
128121, 127eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑄) ∈ 𝑊)
129120, 128eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) ∈ 𝑊)
13036, 38, 93, 105, 108, 117, 129conncn 21962 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊)
131115adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
132131feq2d 6493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼):𝐼𝑊 ↔ (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊))
133130, 132mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼):𝐼𝑊)
134133, 33ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) ∈ 𝑊)
13535, 134eqeltrrd 2911 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)
136 fvres 6682 . . . . . . 7 ((𝑁𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
137135, 136syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
13827, 32, 1373eqtr4d 2863 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)))
13957cvmsf1o 32416 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
14047, 56, 53, 139syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
141 f1of1 6607 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈 → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
142140, 141syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
143142adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
144 f1fveq 7011 . . . . . 6 (((𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈 ∧ ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 ∧ (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
145143, 30, 135, 144syl12anc 832 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
146138, 145mpbid 233 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅))
147146ex 413 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝑄) = (𝑁𝑄) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
148124simprbda 499 . . . . 5 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑄𝑌)
149122, 148syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝑌)
150 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑄))
151 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑄))
152150, 151eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑥 = 𝑄 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
153152elrab3 3678 . . . 4 (𝑄𝑌 → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
154149, 153syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
155 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑅))
156 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
157155, 156eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
158157elrab3 3678 . . . 4 (𝑅𝑌 → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
15916, 158syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
160147, 154, 1593imtr4d 295 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} → 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
16122ffnd 6508 . . . . 5 (𝜑𝑁 Fn 𝑌)
162 fndmin 6807 . . . . 5 ((𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
16312, 161, 162syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
164163adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
165164eleq2d 2895 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
166164eleq2d 2895 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
167160, 165, 1663imtr4d 295 1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830  cmpt 5137  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  ccom 5552  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  t crest 16682  Topctop 21429  TopOnctopon 21446  Clsdccld 21552   Cn ccn 21760  Conncconn 21947  𝑛-Locally cnlly 22001  Homeochmeo 22289   CovMap ccvm 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-conn 21948  df-hmeo 22291  df-cvm 32400
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  32426
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