Theorem cvrat2 36567

Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 30166 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cvrat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrat2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrat2.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		cvrat2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5		cvrat2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	atcvrj0 36566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
7	6	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
8	7	necon3bid 3062	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
9		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		hllat 36501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13		simpr2 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	1, 5	atbase 36427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
16		simpr3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	1, 5	atbase 36427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
19	1, 2	latjcl 17663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
20	12, 15, 18, 19	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
21		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
22	1, 21, 4	cvrlt 36408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
23	22	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	9, 10, 20, 23	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	1, 21, 2, 3, 5	cvrat 36560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
26	25	expcomd 419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
27	24, 26	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
28	27	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴))
29	8, 28	sylbird 262	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
31	30	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
32	31	impd 413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
33	32	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  ltcplt 17553  joincjn 17556  0.cp0 17649  Latclat 17657   ⋖ ccvr 36400  Atomscatm 36401  HLchlt 36488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489

This theorem is referenced by:  cvrat3  36580  atcvrlln  36658  lncvrelatN  36919