Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat2 33527
Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 28424 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j = (join‘𝐾)
cvrat2.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)

Proof of Theorem cvrat2
StepHypRef Expression
1 cvrat2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat2.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 cvrat2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5 cvrat2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5atcvrj0 33526 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
763expa 1257 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
87necon3bid 2826 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝑄))
9 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1060 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
11 hllat 33462 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13 simpr2 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
141, 5atbase 33388 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
16 simpr3 1062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
171, 5atbase 33388 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
191, 2latjcl 16823 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2012, 15, 18, 19syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
221, 21, 4cvrlt 33369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2322ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
249, 10, 20, 23syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
251, 21, 2, 3, 5cvrat 33520 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
2625expcomd 453 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2724, 26syld 46 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2827imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴))
298, 28sylbird 249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑃𝑄𝑋𝐴))
3029ex 449 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑃𝑄𝑋𝐴)))
3130com23 84 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋𝐴)))
3231impd 446 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
33323impia 1253 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  ltcplt 16713  joincjn 16716  0.cp0 16809  Latclat 16817  ccvr 33361  Atomscatm 33362  HLchlt 33449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450
This theorem is referenced by:  cvrat3  33540  atcvrlln  33618  lncvrelatN  33879
  Copyright terms: Public domain W3C validator