Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvratlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvratlem 33524
Description: Lemma for cvrat 33525. (atcvatlem 28430 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat.s < = (lt‘𝐾)
cvrat.j = (join‘𝐾)
cvrat.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvratlem (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1059 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 cvrat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2605 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 cvrat.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
7 cvrat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
84, 5, 6, 7atlex 33420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
983expia 1258 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
102, 3, 9syl2anc 690 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1113ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simp22 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
13 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
145, 7atcmp 33415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
16 breq1 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = 𝑟 → (𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1716biimprd 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
1815, 17syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
1918com23 83 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
20 con3 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
2119, 20syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟)))
2221impd 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
23 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
244, 7atbase 33393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
25243ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐵)
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14 = (join‘𝐾)
27 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
284, 5, 26, 27, 7cvr1 33513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
2923, 25, 12, 28syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3022, 29sylibd 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3130imp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃))
32 hllat 33467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
33323ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
344, 7atbase 33393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐵)
364, 26latjcom 16824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3733, 35, 25, 36syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3931, 38breqtrrd 4601 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4039adantrrl 755 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
415, 26, 7hlatlej1 33478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4223, 12, 13, 41syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4342adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
445, 7atcmp 33415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑟𝐴𝑃𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
4511, 13, 12, 44syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
46 breq1 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4746biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4845, 47syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
4948com23 83 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
50 con3 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃))
5149, 50syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)))
5251imp32 447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
5352adantrrl 755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
54 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
55 simp21 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑋𝐵)
56 simp23 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
574, 7atbase 33393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐵)
594, 26latjcl 16816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6033, 35, 58, 59syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6123, 55, 603jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵))
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < = (lt‘𝐾)
635, 62pltle 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
6463imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6561, 64sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6665adantrl 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
67 hlpos 33469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
68673ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
694, 5postr 16718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7254, 66, 71mp2and 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
7372adantrrr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
744, 5, 26, 7hlexch1 33485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵) ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
75743expia 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))))
7675impd 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7953, 73, 78mp2and 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
804, 26latjcl 16816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
8133, 35, 25, 80syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
824, 5, 26latjle12 16827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8483adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8543, 79, 84mpbi2and 957 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
865, 26, 7hlatlej1 33478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8723, 12, 56, 86syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8887adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
894, 5, 26latjle12 16827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9190adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9288, 73, 91mpbi2and 957 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
9333, 60, 813jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
9493adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
954, 5latasymb 16819 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9785, 92, 96mpbi2and 957 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟))
98 breq2 4577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
9998biimpcd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10099adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
101100ad2antll 760 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋 < (𝑃 𝑟))
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 33380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) ↔ 𝑟 = 𝑋))
104103biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
1051043expia 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
107106exp4a 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
108107com23 83 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
109108imp4b 610 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
110109adantrr 748 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
11140, 102, 110mp2and 710 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟 = 𝑋)
112 simpl3 1058 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟𝐴)
113111, 112eqeltrrd 2684 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋𝐴)
114113exp45 639 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
1151143expa 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
116115rexlimdva 3008 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
11710, 116syld 45 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
118117imp32 447 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  lecple 15717  Posetcpo 16705  ltcplt 16706  joincjn 16709  0.cp0 16802  Latclat 16810  ccvr 33366  Atomscatm 33367  AtLatcal 33368  HLchlt 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455
This theorem is referenced by:  cvrat  33525
  Copyright terms: Public domain W3C validator