Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrcon3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrcon3b 34065
Description: Contraposition law for the covers relation. (cvcon3 29004 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcon3b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrcon3b.o = (oc‘𝐾)
cvrcon3b.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrcon3b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑌)𝐶( 𝑋)))

Proof of Theorem cvrcon3b
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrcon3b.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . 4 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrcon3b.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
41, 2, 3opltcon3b 33992 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑋)))
5 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑋𝐵)
7 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
81, 2, 3opltcon3b 33992 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑥 ↔ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋)))
95, 6, 7, 8syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑥 ↔ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋)))
10 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑌𝐵)
111, 2, 3opltcon3b 33992 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥𝐵𝑌𝐵) → (𝑥(lt‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥)))
125, 7, 10, 11syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(lt‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥)))
139, 12anbi12d 746 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) ↔ (( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋) ∧ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥))))
141, 3opoccl 33982 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥𝐵) → ( 𝑥) ∈ 𝐵)
15143ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ( 𝑥) ∈ 𝐵)
16 breq2 4619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ( 𝑥) → (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦 ↔ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥)))
17 breq1 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ( 𝑥) → (𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋) ↔ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋)))
1816, 17anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ( 𝑥) → ((( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)) ↔ (( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥) ∧ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋))))
1918rspcev 3295 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥) ∧ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋))) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)))
2019ex 450 . . . . . . . . 9 (( 𝑥) ∈ 𝐵 → ((( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥) ∧ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋)) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
2115, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥) ∧ ( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋)) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
2221ancomsd 470 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((( 𝑥)(lt‘𝐾)( 𝑋) ∧ ( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑥)) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
2313, 22sylbid 230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
2423rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
25 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
26 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑌𝐵)
27 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
281, 2, 3opltcon1b 33993 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑦𝐵) → (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦 ↔ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦 ↔ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌))
30 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
311, 2, 3opltcon2b 33994 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑦𝐵𝑋𝐵) → (𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋) ↔ 𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦)))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋) ↔ 𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦)))
3329, 32anbi12d 746 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)) ↔ (( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦))))
341, 3opoccl 33982 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑦𝐵) → ( 𝑦) ∈ 𝐵)
35343ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ( 𝑦) ∈ 𝐵)
36 breq2 4619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ( 𝑦) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦)))
37 breq1 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ( 𝑦) → (𝑥(lt‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌))
3836, 37anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ( 𝑦) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) ↔ (𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦) ∧ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌)))
3938rspcev 3295 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦) ∧ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌))
4039ex 450 . . . . . . . . 9 (( 𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦) ∧ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)))
4135, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦) ∧ ( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)))
4241ancomsd 470 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((( 𝑦)(lt‘𝐾)𝑌𝑋(lt‘𝐾)( 𝑦)) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)))
4333, 42sylbid 230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)))
4443rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)) → ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)))
4524, 44impbid 202 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
4645notbid 308 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌) ↔ ¬ ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋))))
474, 46anbi12d 746 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌)) ↔ (( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)))))
48 cvrcon3b.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
491, 2, 48cvrval 34057 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ ∃𝑥𝐵 (𝑋(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)𝑌))))
50 simp1 1059 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
511, 3opoccl 33982 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
52513adant2 1078 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
531, 3opoccl 33982 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
54533adant3 1079 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
551, 2, 48cvrval 34057 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 𝑌)𝐶( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)))))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌)𝐶( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(lt‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ∃𝑦𝐵 (( 𝑌)(lt‘𝐾)𝑦𝑦(lt‘𝐾)( 𝑋)))))
5747, 49, 563bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ( 𝑌)𝐶( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4615  cfv 5849  Basecbs 15784  occoc 15873  ltcplt 16865  OPcops 33960  ccvr 34050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fv 5857  df-ov 6610  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-oposet 33964  df-covers 34054
This theorem is referenced by:  cvrcmp2  34072  cvrexch  34207  1cvrco  34259  1cvrjat  34262  lhprelat3N  34827
  Copyright terms: Public domain W3C validator