Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrlt 34034
Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 28990 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrlt (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrfval.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrfval.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 34033 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
54simprbda 652 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  ltcplt 16862  ccvr 34026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-covers 34030
This theorem is referenced by:  ncvr1  34036  cvrletrN  34037  cvrnbtwn2  34039  cvrnbtwn3  34040  cvrle  34042  cvrnle  34044  cvrne  34045  0ltat  34055  atlen0  34074  atcvreq0  34078  cvlcvr1  34103  cvrval3  34176  cvrval4N  34177  cvrexchlem  34182  ltcvrntr  34187  cvrntr  34188  cvrat2  34192  atltcvr  34198  1cvratex  34236  ps-2  34241  llnnleat  34276  lplnnle2at  34304  lvolnle3at  34345  lhp0lt  34766
  Copyright terms: Public domain W3C validator