Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrne 34045
Description: The covers relation implies inequality. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrne.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrne (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝑌)

Proof of Theorem cvrne
StepHypRef Expression
1 cvrne.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrne.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 34034 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
65, 2pltval 16881 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋𝑌)))
76simplbda 653 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝑌)
84, 7syldan 487 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  ltcplt 16862  ccvr 34026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-plt 16879  df-covers 34030
This theorem is referenced by:  cvrnrefN  34046  cvrcmp  34047  cdleme3b  34993  cdleme3c  34994  cdleme7e  35011
  Copyright terms: Public domain W3C validator