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Theorem cvrval3 35017
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval3.l = (le‘𝐾)
cvrval3.j = (join‘𝐾)
cvrval3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 34875 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrval3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
6 cvrval3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 35016 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
94, 8syldan 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
10 simp3l 1109 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
11 simp1l1 1174 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1175 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐵)
13 simp2 1082 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 35014 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1610, 15mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
17 hllat 34968 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
191, 7atbase 34894 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
20193ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐵)
211, 6latjcl 17098 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
2218, 12, 20, 21syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
231, 2, 3cvrlt 34875 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑝)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
2411, 12, 22, 10, 23syl31anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
25 simp3r 1110 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
26 hlpos 34970 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2711, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
28 simp1l3 1176 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑌𝐵)
29 simp1r 1106 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
301, 5, 2, 3cvrnbtwn2 34880 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3127, 12, 28, 22, 29, 30syl131anc 1379 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3224, 25, 31mpbi2and 976 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
3316, 32jca 553 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
34333exp 1283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))))
3534reximdvai 3044 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
369, 35mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3736ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
38 simp3l 1109 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
39 simp11 1111 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
40 simp12 1112 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
41 simp2 1082 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑝𝐴)
4239, 40, 41, 14syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
4338, 42mpbid 222 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
44 simp3r 1110 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
4543, 44breqtrd 4711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
4645rexlimdv3a 3062 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
4737, 46impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  ltcplt 16988  joincjn 16991  Latclat 17092  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  cvrval4N  35018  cvrval5  35019  islln3  35114  llnexatN  35125  islpln3  35137  lplnexatN  35167  islvol3  35180  isline4N  35381  lhpexnle  35610
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