Theorem cvrval5 36553

Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrval5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrval5.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 36501	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		cvrval5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cvrval5.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	3, 4	latmcl 17664	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		cvrval5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvrval5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cvrval5.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11		cvrval5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	3, 8, 9, 10, 11	cvrval3 36551	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
13	1, 6, 7, 12	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	2	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
16	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
17	3, 11	atbase 36427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
19	3, 8, 9	latlej2 17673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
21		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)
22	20, 21	breqtrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
23	22	biantrurd 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑌 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
24		simpll2 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25		simpll3 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 8, 4	latlem12 17690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
27	15, 18, 24, 25, 26	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
28	23, 27	bitr2d 282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ 𝑌))
29	28	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
30	29	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	pm5.32rd 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
32	14	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
33	6	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	17	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
35	3, 9	latjcom 17671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
37	36	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
38	37	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
39	31, 38	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
40	39	rexbidva 3298	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
41	13, 40	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657   ⋖ ccvr 36400  Atomscatm 36401  HLchlt 36488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  37162