MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiveqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsdiveqd 22672
Description: An equality involving ratios in a complex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t · = ( ·𝑠𝑊)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a (𝜑𝐴𝐾)
cvsdiveqd.b (𝜑𝐵𝐾)
cvsdiveqd.x (𝜑𝑋𝑉)
cvsdiveqd.y (𝜑𝑌𝑉)
cvsdiveqd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
cvsdiveqd.2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
cvsdiveqd.3 (𝜑𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cvsdiveqd (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem cvsdiveqd
StepHypRef Expression
1 cvsdiveqd.3 . . 3 (𝜑𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
21oveq2d 6543 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 22663 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6clmsscn 22618 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
9 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐾)
108, 9sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
128, 11sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 cvsdiveqd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
14 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1510, 12, 13, 14divcan6d 10669 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) = 1)
1615oveq1d 6542 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
175, 6cvsdivcl 22670 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐵𝐾𝐴𝐾𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
183, 9, 11, 14, 17syl13anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
195, 6cvsdivcl 22670 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
203, 11, 9, 13, 19syl13anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
21 cvsdiveqd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
22 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
23 cvsdiveqd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2422, 5, 23, 6clmvsass 22628 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾𝑌𝑉)) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
254, 18, 20, 21, 24syl13anc 1319 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
2622, 23clmvs1 22632 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑌𝑉) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
274, 21, 26syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
2816, 25, 273eqtr3d 2651 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)) = 𝑌)
292, 28eqtrd 2643 1 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   / cdiv 10533  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  ℂModcclm 22601  ℂVecccvs 22660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-cmn 17964  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lvec 18870  df-cnfld 19514  df-clm 22602  df-cvs 22661
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  25483
  Copyright terms: Public domain W3C validator