Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsi 22911
 Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsi.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a + = (+g𝑊)
cvsi.s 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m = ( ·sf𝑊)
cvsi.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cvsi (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi
StepHypRef Expression
1 df-cvs 22905 . . . 4 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
21eleq2i 2691 . . 3 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec))
3 elin 3788 . . 3 (𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
42, 3bitri 264 . 2 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
5 lveclmod 19087 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6 lmodabl 18891 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
87adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
9 eqid 2620 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 cvsi.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
119, 10clmsscn 22860 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
12 clmlmod 22848 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
13 cvsi.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝑊)
14 cvsi.m . . . . . . 7 = ( ·sf𝑊)
1513, 9, 10, 14lmodscaf 18866 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
1711, 16jca 554 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
1817adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
199clm1 22854 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2120oveq1d 6650 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → (1 · 𝑥) = ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥))
2212anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑋))
23 cvsi.t . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑊)
24 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
2513, 9, 23, 24lmodvs1 18872 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑋) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥) = 𝑥)
2622, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥) = 𝑥)
2721, 26eqtrd 2654 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2812adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
31 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑆)
32 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥𝑋)
33 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
3431, 32, 333jca 1240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑆𝑥𝑋𝑧𝑋))
3530, 34jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑋𝑧𝑋)))
36 cvsi.a . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝑊)
3713, 36, 9, 23, 10lmodvsdi 18867 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
3938ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
409clmadd 22855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
4443oveqd 6652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
4544oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
4629adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
47 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝑆)
49 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
50 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝑋)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝑋)
5348, 49, 523jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋))
5446, 53jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋)))
55 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
5613, 36, 9, 23, 10, 55lmodvsdir 18868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
5845, 57eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
599clmmul 22856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
6362oveqd 6652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
6463oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
65 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
6613, 9, 23, 10, 65lmodvsass 18869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
6754, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
6864, 67eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
6958, 68jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
7069ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
7139, 70jca 554 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
7271ralrimiva 2963 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
7327, 72jca 554 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
7473ralrimiva 2963 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
7574adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
768, 18, 753jca 1240 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
774, 76sylbi 207 1 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567   × cxp 5102  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  Abelcabl 18175  1rcur 18482  LModclmod 18844   ·sf cscaf 18845  LVecclvec 19083  ℂModcclm 22843  ℂVecccvs 22904 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-subg 17572  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-scaf 18847  df-lvec 19084  df-cnfld 19728  df-clm 22844  df-cvs 22905 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator