MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvxcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxcl 24645
Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxcl.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
cvxcl.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cvxcl ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxcl
StepHypRef Expression
1 cvxcl.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
21ralrimivva 2967 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
32ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
4 simpr1 1065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋𝐷)
5 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌𝐷)
6 oveq1 6622 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥[,]𝑦) = (𝑋[,]𝑦))
76sseq1d 3617 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑋[,]𝑦) ⊆ 𝐷))
8 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋[,]𝑦) = (𝑋[,]𝑌))
98sseq1d 3617 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
107, 9rspc2v 3311 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
114, 5, 10syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
1211adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
133, 12mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷)
14 ax-1cn 9954 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
15 unitssre 12277 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
16 simpr3 1067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
1715, 16sseldi 3586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1817recnd 10028 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
19 nncan 10270 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
2014, 18, 19sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
2120oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
2221oveq1d 6630 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
2322adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
24 cvxcl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ⊆ ℝ)
2625, 4sseldd 3589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
2825, 5sseldd 3589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
30 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
31 simplr3 1103 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
32 iirev 22668 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
34 lincmb01cmp 12273 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3527, 29, 30, 33, 34syl31anc 1326 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3623, 35eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3713, 36sseldd 3589 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
38 oveq2 6623 . . . . 5 (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑌))
3938oveq1d 6630 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
40 pncan3 10249 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4118, 14, 40sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4241oveq1d 6630 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
43 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
44 resubcl 10305 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4543, 17, 44sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4645recnd 10028 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
4728recnd 10028 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℂ)
4818, 46, 47adddird 10025 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
4947mulid2d 10018 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
5042, 48, 493eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
5139, 50sylan9eqr 2677 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
525adantr 481 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑌𝐷)
5351, 52eqeltrd 2698 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
542ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
55 oveq1 6622 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥[,]𝑦) = (𝑌[,]𝑦))
5655sseq1d 3617 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑌[,]𝑦) ⊆ 𝐷))
57 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌[,]𝑦) = (𝑌[,]𝑋))
5857sseq1d 3617 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑌[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
5956, 58rspc2v 3311 . . . . . 6 ((𝑌𝐷𝑋𝐷) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
605, 4, 59syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
6160adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
6254, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷)
6326recnd 10028 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
6418, 63mulcld 10020 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
6546, 47mulcld 10020 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℂ)
6664, 65addcomd 10198 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
6766adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
6828adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
6926adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
70 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑌 < 𝑋)
71 simplr3 1103 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
72 lincmb01cmp 12273 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 < 𝑋) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7368, 69, 70, 71, 72syl31anc 1326 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7467, 73eqeltrd 2698 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7562, 74sseldd 3589 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
7626, 28lttri4d 10138 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌𝑌 < 𝑋))
7737, 53, 75, 76mpjao3dan 1392 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wss 3560   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cmin 10226  [,]cicc 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-rp 11793  df-icc 12140
This theorem is referenced by:  scvxcvx  24646  jensenlem2  24648  amgmlem  24650
  Copyright terms: Public domain W3C validator