Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxpcon 30312
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpcon.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpcon.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpcon.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpcon.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxpcon (𝜑𝐾 ∈ PCon)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxpcon
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpcon.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
2 cvxpcon.3 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22345 . . . 4 𝐽 ∈ Top
4 cvxpcon.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
6 ssexg 4727 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 692 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 20722 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
101, 9syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Top)
112dfii3 22442 . . . . . . . 8 II = (𝐽t (0[,]1))
122cnfldtopon 22344 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 unitssre 12149 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 9850 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3576 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
1813cnmptid 21222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
194adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
20 simprr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥𝑆)
2119, 20sseldd 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2213, 13, 21cnmptc 21223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232mulcn 22426 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 21227 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26 1cnd 9913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 1 ∈ ℂ)
2713, 13, 26cnmptc 21223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
282subcn 22425 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3013, 27, 18, 29cnmpt12f 21227 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
31 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦𝑆)
3219, 31sseldd 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3313, 13, 32cnmptc 21223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3413, 30, 33, 24cnmpt12f 21227 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
352addcn 22424 . . . . . . . . . 10 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3713, 25, 34, 36cnmpt12f 21227 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3811, 13, 17, 37cnmpt1res 21237 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽))
39 cvxpcon.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
40393exp2 1276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4140com23 83 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4241imp42 617 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
43 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
4442, 43fmptd 6277 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆)
45 frn 5952 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆 → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
47 cnrest2 20848 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4813, 46, 19, 47syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4938, 48mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
501oveq2i 6538 . . . . . 6 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
5149, 50syl6eleqr 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾))
52 0elunit 12120 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
53 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑡 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
54 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
55 1m0e1 10981 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
5654, 55syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
5756oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
5853, 57oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
59 ovex 6555 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) ∈ V
6058, 43, 59fvmpt 6176 . . . . . . 7 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
6152, 60ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦))
6221mul02d 10086 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑥) = 0)
6332mulid2d 9915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
6462, 63oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = (0 + 𝑦))
6532addid2d 10089 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
6664, 65eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = 𝑦)
6761, 66syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦)
68 1elunit 12121 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
69 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑡 · 𝑥) = (1 · 𝑥))
70 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
71 1m1e0 10939 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7270, 71syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
7372oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (0 · 𝑦))
7469, 73oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
75 ovex 6555 . . . . . . . 8 ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ∈ V
7674, 43, 75fvmpt 6176 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
7768, 76ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
7821mulid2d 9915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7932mul02d 10086 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑦) = 0)
8078, 79oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = (𝑥 + 0))
8121addid1d 10088 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
8280, 81eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = 𝑥)
8377, 82syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)
84 fveq1 6087 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘0) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0))
8584eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘0) = 𝑦 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦))
86 fveq1 6087 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘1) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1))
8786eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥))
8885, 87anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)))
8988rspcev 3281 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9051, 67, 83, 89syl12anc 1315 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9190ralrimivva 2953 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
92 resttopon 20723 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
9312, 4, 92sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
941, 93syl5eqel 2691 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
95 toponuni 20490 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
9694, 95syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 = 𝐾)
9796raleqdv 3120 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9896, 97raleqbidv 3128 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9991, 98mpbid 220 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
100 eqid 2609 . . 3 𝐾 = 𝐾
101100ispcon 30293 . 2 (𝐾 ∈ PCon ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
10210, 99, 101sylanbrc 694 1 (𝜑𝐾 ∈ PCon)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539   cuni 4366  cmpt 4637  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  [,]cicc 12008  t crest 15853  TopOpenctopn 15854  fldccnfld 19516  Topctop 20465  TopOnctopon 20466   Cn ccn 20786   ×t ctx 21121  IIcii 22434  PConcpcon 30289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-ii 22436  df-pcon 30291
This theorem is referenced by:  cvxscon  30313
  Copyright terms: Public domain W3C validator