Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxpconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxpconn 31198
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxpconn (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxpconn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
2 cvxpconn.3 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22568 . . . 4 𝐽 ∈ Top
4 cvxpconn.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 10002 . . . . 5 ℂ ∈ V
6 ssexg 4795 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 20945 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
101, 9syl5eqel 2703 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Top)
112dfii3 22667 . . . . . . . 8 II = (𝐽t (0[,]1))
122cnfldtopon 22567 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 unitssre 12304 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 9978 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3604 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
1813cnmptid 21445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
194adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
20 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥𝑆)
2119, 20sseldd 3596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2213, 13, 21cnmptc 21446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232mulcn 22651 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 21450 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 1 ∈ ℂ)
2713, 13, 26cnmptc 21446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
282subcn 22650 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3013, 27, 18, 29cnmpt12f 21450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
31 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦𝑆)
3219, 31sseldd 3596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3313, 13, 32cnmptc 21446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3413, 30, 33, 24cnmpt12f 21450 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
352addcn 22649 . . . . . . . . . 10 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3713, 25, 34, 36cnmpt12f 21450 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3811, 13, 17, 37cnmpt1res 21460 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽))
39 cvxpconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
40393exp2 1283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
4241imp42 619 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
43 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
4442, 43fmptd 6371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆)
45 frn 6040 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))):(0[,]1)⟶𝑆 → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆)
47 cnrest2 21071 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4813, 46, 19, 47syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆))))
4938, 48mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
501oveq2i 6646 . . . . . 6 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
5149, 50syl6eleqr 2710 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾))
52 0elunit 12275 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
53 oveq1 6642 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑡 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
54 oveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
55 1m0e1 11116 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
5654, 55syl6eq 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
5756oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
5853, 57oveq12d 6653 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
59 ovex 6663 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) ∈ V
6058, 43, 59fvmpt 6269 . . . . . . 7 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)))
6152, 60ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦))
6221mul02d 10219 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑥) = 0)
6332mulid2d 10043 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
6462, 63oveq12d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = (0 + 𝑦))
6532addid2d 10222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
6664, 65eqtrd 2654 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((0 · 𝑥) + (1 · 𝑦)) = 𝑦)
6761, 66syl5eq 2666 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦)
68 1elunit 12276 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
69 oveq1 6642 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑡 · 𝑥) = (1 · 𝑥))
70 oveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
71 1m1e0 11074 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7270, 71syl6eq 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
7372oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = (0 · 𝑦))
7469, 73oveq12d 6653 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
75 ovex 6663 . . . . . . . 8 ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ∈ V
7674, 43, 75fvmpt 6269 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
7768, 76ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
7821mulid2d 10043 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7932mul02d 10219 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (0 · 𝑦) = 0)
8078, 79oveq12d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = (𝑥 + 0))
8121addid1d 10221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
8280, 81eqtrd 2654 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((1 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = 𝑥)
8377, 82syl5eq 2666 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)
84 fveq1 6177 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘0) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0))
8584eqeq1d 2622 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘0) = 𝑦 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦))
86 fveq1 6177 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (𝑓‘1) = ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1))
8786eqeq1d 2622 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥))
8885, 87anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)))
8988rspcev 3304 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘0) = 𝑦 ∧ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))‘1) = 𝑥)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9051, 67, 83, 89syl12anc 1322 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑆)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
9190ralrimivva 2968 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
92 resttopon 20946 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
9312, 4, 92sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
941, 93syl5eqel 2703 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
95 toponuni 20700 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
9694, 95syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 = 𝐾)
9796raleqdv 3139 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9896, 97raleqbidv 3147 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝑆𝑥𝑆𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
9991, 98mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥))
100 eqid 2620 . . 3 𝐾 = 𝐾
101100ispconn 31179 . 2 (𝐾 ∈ PConn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑦 𝐾𝑥 𝐾𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
10210, 99, 101sylanbrc 697 1 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567   cuni 4427  cmpt 4720  ran crn 5105  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cmin 10251  [,]cicc 12163  t crest 16062  TopOpenctopn 16063  fldccnfld 19727  Topctop 20679  TopOnctopon 20696   Cn ccn 21009   ×t ctx 21344  IIcii 22659  PConncpconn 31175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-ii 22661  df-pconn 31177
This theorem is referenced by:  cvxsconn  31199
  Copyright terms: Public domain W3C validator