Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxsconn 30986
Description: A convex subset of the complex numbers is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxsconn (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxsconn
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.1 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 cvxpconn.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
3 cvxpconn.3 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
51, 2, 3, 4cvxpconn 30985 . 2 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
6 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
7 pconntop 30968 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ PConn → 𝐾 ∈ Top)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ Top)
10 eqid 2621 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
1110toptopon 20662 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
129, 11sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 iiuni 22624 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) = II
1413, 10cnf 20990 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
16 0elunit 12248 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
17 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
19 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
2019pcoptcl 22761 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝐾) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2112, 18, 20syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2221simp1d 1071 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾))
23 iitopon 22622 . . . . . . . . . . 11 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
253dfii3 22626 . . . . . . . . . . . 12 II = (𝐽t (0[,]1))
263cnfldtopon 22526 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
28 unitssre 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
29 ax-resscn 9953 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3028, 29sstri 3597 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
3227, 27cnmpt2nd 21412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3325, 27, 31, 25, 27, 31, 32cnmpt2res 21420 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
341adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35 resttopon 20905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3626, 1, 35sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
374, 36syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
38 toponuni 20659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = 𝐾)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 = 𝐾)
4118, 40eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
4234, 41sseldd 3589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
4324, 24, 27, 42cnmpt2c 21413 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘0)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
443mulcn 22610 . . . . . . . . . . . 12 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4624, 24, 33, 43, 45cnmpt22f 21418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑡 · (𝑓‘0))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
47 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 1 ∈ ℂ)
4927, 27, 27, 48cnmpt2c 21413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
503subcn 22609 . . . . . . . . . . . . . 14 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5227, 27, 49, 32, 51cnmpt22f 21418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5325, 27, 31, 25, 27, 31, 52cnmpt2res 21420 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
5424, 24cnmpt1st 21411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ ((II ×t II) Cn II))
553cnfldtop 22527 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
56 cnrest2r 21031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽)
584oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
596, 58syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
6057, 59sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
6124, 24, 54, 60cnmpt21f 21415 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓𝑧)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6224, 24, 53, 61, 45cnmpt22f 21418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
633addcn 22608 . . . . . . . . . . 11 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6524, 24, 46, 62, 64cnmpt22f 21418 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6641adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
6715adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
68 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
6967, 68ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐾)
7040adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑆 = 𝐾)
7169, 70eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
7223exp2 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
7372imp42 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7473an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7574ralrimivva 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7675ad2ant2rl 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
77 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑓‘0) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · (𝑓‘0)))
7877oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑓‘0) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
7978eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑓‘0) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))
80 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))
8180oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8281eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆))
8379, 82rspc2va 3312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8466, 71, 76, 83syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8584ralrimivva 2967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
86 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8786fmpt2 7197 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8885, 87sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
89 frn 6020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆 → ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆)
91 cnrest2 21030 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9227, 90, 34, 91syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9365, 92mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆)))
944oveq2i 6626 . . . . . . . 8 ((II ×t II) Cn 𝐾) = ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))
9593, 94syl6eleqr 2709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐾))
96 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
97 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
9897oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (0 · (𝑓‘0)))
9997oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
100 1m0e1 11091 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
10199, 100syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
102 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑧 = 𝑠)
103102fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
104101, 103oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (1 · (𝑓𝑠)))
10598, 104oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
106 ovex 6643 . . . . . . . . . 10 ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) ∈ V
107105, 86, 106ovmpt2a 6756 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10896, 16, 107sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10942adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
110109mul02d 10194 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓‘0)) = 0)
11126toponunii 20661 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = 𝐽
11213, 111cnf 20990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
11360, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
114113ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓𝑠) ∈ ℂ)
115114mulid2d 10018 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
116110, 115oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) = (0 + (𝑓𝑠)))
117114addid2d 10197 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
118108, 116, 1173eqtrd 2659 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = (𝑓𝑠))
119 1elunit 12249 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
120 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
121120oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
122120oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
123 1m1e0 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
124122, 123syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
125 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑧 = 𝑠)
126125fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
127124, 126oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (0 · (𝑓𝑠)))
128121, 127oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
129 ovex 6643 . . . . . . . . . 10 ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) ∈ V
130128, 86, 129ovmpt2a 6756 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
13196, 119, 130sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
132109mulid2d 10018 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓‘0)) = (𝑓‘0))
133114mul02d 10194 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓𝑠)) = 0)
134132, 133oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) = ((𝑓‘0) + 0))
135109addid1d 10196 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (𝑓‘0))
136 fvex 6168 . . . . . . . . . . 11 (𝑓‘0) ∈ V
137136fvconst2 6434 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
138137adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
139135, 138eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
140131, 134, 1393eqtrd 2659 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
141 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
142141oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
143141oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
144 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 0)
145144fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘0))
146143, 145oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)))
147142, 146oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
148 ovex 6643 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) ∈ V
149147, 86, 148ovmpt2a 6756 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
15016, 96, 149sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
15130, 96sseldi 3586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
152 pncan3 10249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
153151, 47, 152sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
154153oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
155 subcl 10240 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
15647, 151, 155sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
157151, 156, 109adddird 10025 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
158154, 157, 1323eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = (𝑓‘0))
159150, 158eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘0))
160 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
161160oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
162160oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
163 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 1)
164163fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘1))
165162, 164oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
166161, 165oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
167 ovex 6643 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) ∈ V
168166, 86, 167ovmpt2a 6756 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
169119, 96, 168sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
170 simplrr 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
171170oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
172171oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
173158, 172, 1703eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) = (𝑓‘1))
174169, 173eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘1))
1756, 22, 95, 118, 140, 159, 174isphtpy2d 22726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
176 ne0i 3903 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) → (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅)
177175, 176syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅)
178 isphtpc 22733 . . . . 5 (𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅))
1796, 22, 177, 178syl3anbrc 1244 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
180179expr 642 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
181180ralrimiva 2962 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
182 issconn 30969 . 2 (𝐾 ∈ SConn ↔ (𝐾 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
1835, 181, 182sylanbrc 697 1 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   cuni 4409   class class class wbr 4623   × cxp 5082  ran crn 5085  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  [,]cicc 12136  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  fldccnfld 19686  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303  IIcii 22618  PHtpycphtpy 22707  phcphtpc 22708  PConncpconn 30962  SConncsconn 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-htpy 22709  df-phtpy 22710  df-phtpc 22731  df-pconn 30964  df-sconn 30965
This theorem is referenced by:  blsconn  30987  resconn  30989
  Copyright terms: Public domain W3C validator