MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 24210
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddle.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddle.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cxpaddle.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
cxpaddle.5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cxpaddle.6 (𝜑𝐶 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 9925 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
61, 2, 4, 5addge0d 10452 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 11704 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 6, 8recxpcld 24186 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
109adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
1110recnd 9924 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
1211mulid2d 9914 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
131adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
143anim1i 589 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
15 elrp 11666 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
1614, 15sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
1713, 16rerpdivcld 11735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
182adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918, 16rerpdivcld 11735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
204adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
213adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
23 divge0 10741 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
258adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2617, 24, 25recxpcld 24186 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
275adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
28 divge0 10741 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
3019, 29, 25recxpcld 24186 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
311, 2addge01d 10464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
325, 31mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3421recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3534mulid1d 9913 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) · 1) = (𝐴 + 𝐵))
3633, 35breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
37 1red 9911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
38 ledivmul 10748 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
4036, 39mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
417adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≤ 1)
4342adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ≤ 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 24209 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
452, 1addge02d 10465 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
464, 45mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4847, 35breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
49 ledivmul 10748 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5148, 50mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 24209 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 10495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) ≤ (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)))
5413recnd 9924 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5518recnd 9924 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5616rpne0d 11709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ≠ 0)
5754, 55, 34, 56divdird 10688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))))
5834, 56dividd 10648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2645 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) = 1)
608recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6160adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6213, 20, 16, 61divcxpd 24185 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 24185 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6462, 63oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
651, 4, 8recxpcld 24186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6665recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
682, 5, 8recxpcld 24186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6968recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7069adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7116, 25rpcxpcld 24193 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
7271rpne0d 11709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≠ 0)
7367, 70, 11, 72divdird 10688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7464, 73eqtr4d 2646 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7553, 59, 743brtr3d 4608 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7665, 68readdcld 9925 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7776adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7837, 77, 71lemuldivd 11753 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7975, 78mpbird 245 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8012, 79eqbrtrrd 4601 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
817rpne0d 11709 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
8260, 810cxpd 24173 . . . . 5 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 24187 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐶))
842, 5, 8cxpge0d 24187 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
8565, 68, 83, 84addge0d 10452 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8682, 85eqbrtrd 4599 . . . 4 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
87 oveq1 6534 . . . . 5 (0 = (𝐴 + 𝐵) → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
8887breq1d 4587 . . . 4 (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
8986, 88syl5ibcom 233 . . 3 (𝜑 → (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
9089imp 443 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
91 0re 9896 . . . 4 0 ∈ ℝ
92 leloe 9975 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
9391, 3, 92sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
946, 93mpbid 220 . 2 (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵)))
9580, 90, 94mpjaodan 822 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  +crp 11664  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  abvcxp  25021
  Copyright terms: Public domain W3C validator