MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddlelem 24712
Description: Lemma for cxpaddle 24713. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3 (𝜑𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5 (𝜑𝐵 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
54rpred 12085 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 resubcl 10557 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
73, 5, 6sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
81, 2, 7recxpcld 24689 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10 1red 10267 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11 recxpcl 24641 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12 cxpge0 24649 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
1311, 12jca 555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
141, 2, 5, 13syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ 1)
1716ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
181ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
192ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20 1red 10267 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 10763 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23 difrp 12081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
245, 3, 23sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2625biimpa 502 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 24693 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
2817, 27mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
297recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30291cxpd 24673 . . . . . . 7 (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3130ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3228, 31breqtrd 4830 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
3433oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35 1m1e0 11301 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3634, 35syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
3736oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴𝑐0))
381recnd 10280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4039cxp0d 24671 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐0) = 1)
4137, 40eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42 1le1 10867 . . . . . 6 1 ≤ 1
4341, 42syl6eqbr 4843 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ 1)
45 leloe 10336 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
465, 3, 45sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
4744, 46mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4847adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4932, 43, 48mpjaodan 862 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50 lemul1a 11089 . . . 4 ((((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))) ∧ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
519, 10, 15, 49, 50syl31anc 1480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
52 ax-1cn 10206 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
535recnd 10280 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54 npcan 10502 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5552, 53, 54sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5655adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5756oveq2d 6830 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴𝑐1))
5838adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
591anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60 elrp 12047 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6159, 60sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6261rpne0d 12090 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6329adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
6453adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6558, 62, 63, 64cxpaddd 24683 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)))
6638cxp1d 24672 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6766adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6857, 65, 673eqtr3d 2802 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) = 𝐴)
6938, 53cxpcld 24674 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
7069mulid2d 10270 . . . 4 (𝜑 → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7170adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7251, 68, 713brtr3d 4835 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
731, 2, 5cxpge0d 24690 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
74 breq1 4807 . . . 4 (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7573, 74syl5ibcom 235 . . 3 (𝜑 → (0 = 𝐴𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7675imp 444 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
77 0re 10252 . . . 4 0 ∈ ℝ
78 leloe 10336 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
7977, 1, 78sylancr 698 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
802, 79mpbid 222 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
8172, 76, 80mpjaodan 862 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  +crp 12045  𝑐ccxp 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524
This theorem is referenced by:  cxpaddle  24713
  Copyright terms: Public domain W3C validator