MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddlelem 24209
Description: Lemma for cxpaddle 24210. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3 (𝜑𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5 (𝜑𝐵 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
54rpred 11704 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 resubcl 10196 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
73, 5, 6sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
81, 2, 7recxpcld 24186 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10 1red 9911 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11 recxpcl 24138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12 cxpge0 24146 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
1311, 12jca 552 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
141, 2, 5, 13syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
1514adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ 1)
1716ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
181ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
192ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20 1red 9911 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 10400 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23 difrp 11700 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
245, 3, 23sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2524adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2625biimpa 499 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 24190 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
2817, 27mpbid 220 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
297recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30291cxpd 24170 . . . . . . 7 (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3130ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3228, 31breqtrd 4603 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
3433oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35 1m1e0 10936 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3634, 35syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
3736oveq2d 6543 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴𝑐0))
381recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4039cxp0d 24168 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐0) = 1)
4137, 40eqtrd 2643 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42 1le1 10504 . . . . . 6 1 ≤ 1
4341, 42syl6eqbr 4616 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ 1)
45 leloe 9975 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
465, 3, 45sylancl 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
4744, 46mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4847adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4932, 43, 48mpjaodan 822 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50 lemul1a 10726 . . . 4 ((((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))) ∧ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
519, 10, 15, 49, 50syl31anc 1320 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
52 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
535recnd 9924 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54 npcan 10141 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5552, 53, 54sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5655adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5756oveq2d 6543 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴𝑐1))
5838adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
591anim1i 589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60 elrp 11666 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6159, 60sylibr 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6261rpne0d 11709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6329adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
6453adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6558, 62, 63, 64cxpaddd 24180 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)))
6638cxp1d 24169 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6766adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6857, 65, 673eqtr3d 2651 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) = 𝐴)
6938, 53cxpcld 24171 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
7069mulid2d 9914 . . . 4 (𝜑 → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7170adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7251, 68, 713brtr3d 4608 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
731, 2, 5cxpge0d 24187 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
74 breq1 4580 . . . 4 (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7573, 74syl5ibcom 233 . . 3 (𝜑 → (0 = 𝐴𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7675imp 443 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
77 0re 9896 . . . 4 0 ∈ ℝ
78 leloe 9975 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
7977, 1, 78sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
802, 79mpbid 220 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
8172, 76, 80mpjaodan 822 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  +crp 11664  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  cxpaddle  24210
  Copyright terms: Public domain W3C validator