MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3 24234
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12110 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 9850 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3576 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43sseli 3563 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpcn3.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
6 cnvimass 5391 . . . . . . . 8 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7 ref 13649 . . . . . . . . 9 ℜ:ℂ⟶ℝ
87fdmi 5951 . . . . . . . 8 dom ℜ = ℂ
96, 8sseqtri 3599 . . . . . . 7 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
105, 9eqsstri 3597 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
1110sseli 3563 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
12 cxpcl 24165 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
134, 11, 12syl2an 492 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
1413rgen2 2957 . . 3 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ
15 eqid 2609 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
1615fmpt2 7104 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
1714, 16mpbi 218 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1918cnfldtopon 22344 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 rpre 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21 rpge0 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22 elrege0 12108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2320, 21, 22sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,)+∞))
2423ssriv 3571 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ (0[,)+∞)
2524, 3sstri 3576 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℂ
26 resttopon 20723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
2719, 25, 26mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
2827toponunii 20495 . . . . . . . . . . . 12 + = (𝐽t+)
2928restid 15866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) → ((𝐽t+) ↾t+) = (𝐽t+))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ↾t+) = (𝐽t+)
3130eqcomi 2618 . . . . . . . . 9 (𝐽t+) = ((𝐽t+) ↾t+)
3227a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
33 ssid 3586 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ+
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
35 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
3619a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
3710a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
38 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) = (𝐽t+)
3918, 38cxpcn2 24232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4131, 32, 34, 35, 36, 37, 40cnmpt2res 21238 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
42 elrege0 12108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
4342simplbi 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
4443adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
4544adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
46 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
4745, 46elrpd 11704 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
48 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣𝐷)
49 opelxp 5060 . . . . . . . . 9 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷) ↔ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐷))
5047, 48, 49sylanbrc 694 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
51 resttopon 20723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
5219, 10, 51mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
5335, 52eqeltri 2683 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
54 txtopon 21152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
5527, 53, 54mp2an 703 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
5655toponunii 20495 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
5756cncnpi 20840 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
5841, 50, 57syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
59 ssid 3586 . . . . . . . 8 𝐷𝐷
60 resmpt2 6634 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)))
6124, 59, 60mp2an 703 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
62 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
63 resttopon 20723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
6419, 3, 63mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
6562, 64eqeltri 2683 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
66 ioorp 12081 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
67 iooretop 22327 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
6866, 67eqeltrri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (topGen‘ran (,))
69 retop 22323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
70 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ∈ V
71 restopnb 20737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
7269, 70, 71mpanl12 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
7368, 24, 33, 72mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
7468, 73mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
75 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
7618, 75rerest 22363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
771, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7862, 77eqtri 2631 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7974, 78eleqtrri 2686 . . . . . . . . . . 11 +𝐾
80 toponmax 20491 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷𝐿)
8153, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐷𝐿
82 txrest 21192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)))
8365, 53, 79, 81, 82mp4an 704 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷))
8462oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾t+) = ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+)
85 restabs 20727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+))
8619, 24, 70, 85mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+)
8784, 86eqtri 2631 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t+) = (𝐽t+)
8853toponunii 20495 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐿
8988restid 15866 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿t 𝐷) = 𝐿)
9053, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐿t 𝐷) = 𝐿
9187, 90oveq12i 6539 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
9283, 91eqtri 2631 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
9392oveq1i 6537 . . . . . . . 8 (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
9493fveq1i 6089 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
9558, 61, 943eltr4g 2704 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
96 txtopon 21152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
9765, 53, 96mp2an 703 . . . . . . . . 9 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
9897topontopi 20494 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
9998a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
100 xpss1 5140 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
10124, 100mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
102 txopn 21163 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
10365, 53, 79, 81, 102mp4an 704 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
104 isopn3i 20644 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
10598, 103, 104mp2an 703 . . . . . . . 8 ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
10650, 105syl6eleqr 2698 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
10717a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
10865topontopi 20494 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ Top
10953topontopi 20494 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ Top
11065toponunii 20495 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) = 𝐾
111108, 109, 110, 88txunii 21154 . . . . . . . 8 ((0[,)+∞) × 𝐷) = (𝐾 ×t 𝐿)
11219toponunii 20495 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐽
113111, 112cnprest 20851 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11499, 101, 106, 107, 113syl22anc 1318 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11595, 114mpbird 245 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
11617a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
117 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
118 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
1195, 18, 62, 35, 117, 118cxpcn3lem 24233 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐷𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
120119ralrimiva 2948 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
121 0e0icopnf 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,)+∞)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
123 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
124122, 123ovresd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
125 0cn 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1263, 123sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
127 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
128127cnmetdval 22332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
129125, 126, 128sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
130 df-neg 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑎 = (0 − 𝑎)
131130fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
132126absnegd 13985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
133131, 132syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
134124, 129, 1333eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
135134breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
136 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣𝐷)
137 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
138136, 137ovresd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
13910, 136sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
14010, 137sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
141127cnmetdval 22332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
142139, 140, 141syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
143138, 142eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
144143breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑))
145135, 144anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑)))
146 oveq12 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
147 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0↑𝑐𝑣) ∈ V
148146, 15, 147ovmpt2a 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
149121, 136, 148sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
1505eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+))
151 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
152 elpreima 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
1537, 151, 152mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
154150, 153bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
155154simplbi 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)
156154simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
157156rpne0d 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
158 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
159 re0 13689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ‘0) = 0
160158, 159syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
161160necon3i 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
162157, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ≠ 0)
163155, 1620cxpd 24201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
164163adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
165149, 164eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = 0)
166 oveq12 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥𝑐𝑦) = (𝑎𝑐𝑏))
167 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎𝑐𝑏) ∈ V
168166, 15, 167ovmpt2a 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
169168adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
170165, 169oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)))
171126, 140cxpcld 24199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ)
172127cnmetdval 22332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
173125, 171, 172sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
174 df-neg 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(𝑎𝑐𝑏) = (0 − (𝑎𝑐𝑏))
175174fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏)))
176171absnegd 13985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
177175, 176syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
178170, 173, 1773eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
179178breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
180145, 179imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
1811802ralbidva 2970 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
182181rexbidv 3033 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
183182ralbidv 2968 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
184120, 183mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
185 cnxmet 22334 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
187 xmetres2 21924 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
188186, 3, 187sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
189 xmetres2 21924 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
190186, 10, 189sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
191121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
192 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷𝑣𝐷)
193 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
19418cnfldtopn 22343 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
195 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
196193, 194, 195metrest 22087 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
197185, 3, 196mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
19862, 197eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
199 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
200 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
201199, 194, 200metrest 22087 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
202185, 10, 201mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
20335, 202eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
204198, 203, 194txmetcnp 22110 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
205188, 190, 186, 191, 192, 204syl32anc 1325 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
206116, 184, 205mpbir2and 958 . . . . . . 7 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
207206ad2antlr 758 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
208 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
209208opeq1d 4340 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
210209fveq2d 6092 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
211207, 210eleqtrd 2689 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
21242simprbi 478 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
213212adantr 479 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
214 0re 9897 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
215 leloe 9976 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
216214, 44, 215sylancr 693 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
217213, 216mpbid 220 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
218115, 211, 217mpjaodan 822 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219218rgen2 2957 . . 3 𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
220 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
221220eleq2d 2672 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
222221ralxp 5173 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
223219, 222mpbir 219 . 2 𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
224 cncnp 20842 . . 3 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
22597, 19, 224mp2an 703 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
22617, 223, 225mpbir2an 956 1 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035  cop 4130   class class class wbr 4577   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  cima 5031  ccom 5032   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  +∞cpnf 9928   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  2c2 10920  +crp 11667  (,)cioo 12005  [,)cico 12007  cre 13634  abscabs 13771  t crest 15853  TopOpenctopn 15854  topGenctg 15870  ∞Metcxmt 19501  MetOpencmopn 19506  fldccnfld 19516  Topctop 20465  TopOnctopon 20466  intcnt 20579   Cn ccn 20786   CnP ccnp 20787   ×t ctx 21121  𝑐ccxp 24051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-tan 14590  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053
This theorem is referenced by:  resqrtcn  24235
  Copyright terms: Public domain W3C validator