MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxple2 24360
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxple2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31, 2elrpd 11821 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43adantr 481 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ad2antrr 761 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 477 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
86, 7elrpd 11821 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9 simp3 1061 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 761 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1211rpred 11824 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 relogcl 24243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10022 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 relogcl 24243 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
17163ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1812, 17remulcld 10022 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19 efle 14784 . . . . . 6 (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
2015, 18, 19syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
21 efle 14784 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2214, 17, 21syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2314, 17, 11lemul2d 11868 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
24 reeflog 24248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
25243ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
26 reeflog 24248 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
27263ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2825, 27breq12d 4631 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
2922, 23, 283bitr3rd 299 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
30 rpre 11791 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 rpne0 11800 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
34333ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
3512recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 cxpef 24328 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
38 rpre 11791 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
41 rpne0 11800 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
42413ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
43 cxpef 24328 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4440, 42, 35, 43syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4537, 44breq12d 4631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
4620, 29, 453bitr4d 300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
474, 8, 10, 46syl3anc 1323 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
48 0re 9992 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
49 simp1l 1083 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 ltnle 10069 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5148, 49, 50sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5251biimpa 501 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 0)
539rpred 11824 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
55 rpcxpcl 24339 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
563, 54, 55syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
57 rpgt0 11796 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴𝑐𝐶))
58 rpre 11791 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
59 ltnle 10069 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6048, 58, 59sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6157, 60mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6256, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6353recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
649rpne0d 11829 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
65 0cxp 24329 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6663, 64, 65syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6766adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6867breq2d 4630 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6962, 68mtbird 315 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶))
7052, 692falsed 366 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)))
71 breq2 4622 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
72 oveq1 6617 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
7372breq2d 4630 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
7471, 73bibi12d 335 . . . . 5 (0 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)) ↔ (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7570, 74syl5ibcom 235 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 = 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7675imp 445 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
77 simp2r 1086 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
78 leloe 10076 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
7948, 5, 78sylancr 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
8077, 79mpbid 222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8180adantr 481 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8247, 76, 81mpjaodan 826 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
83 simpr 477 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
84 simpl2r 1113 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
8583, 84eqbrtrrd 4642 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
8666adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
8783oveq1d 6625 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = (𝐴𝑐𝐶))
8886, 87eqtr3d 2657 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴𝑐𝐶))
89 simpl2l 1112 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9053adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
91 cxpge0 24346 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9289, 84, 90, 91syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9388, 92eqbrtrrd 4642 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9485, 932thd 255 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
95 simp1r 1084 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
96 leloe 10076 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9748, 49, 96sylancr 694 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9895, 97mpbid 222 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
9982, 94, 98mpjaodan 826 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  +crp 11784  expce 14728  logclog 24222  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  cxplt2  24361  cxple2a  24362  cxple2d  24390
  Copyright terms: Public domain W3C validator