MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplogb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplogb 24719
Description: Identity law for the general logarithm. (Contributed by AV, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
cxplogb ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem cxplogb
StepHypRef Expression
1 logbval 24699 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
21oveq2d 6825 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
3 eldifi 3871 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
43adantr 472 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 eldif 3721 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}))
6 c0ex 10222 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76prid1 4437 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
8 eleq1 2823 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 0 ∈ {0, 1}))
97, 8mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ {0, 1})
109necon3bi 2954 . . . . . 6 𝐵 ∈ {0, 1} → 𝐵 ≠ 0)
1110adantl 473 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
125, 11sylbi 207 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
1312adantr 472 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ≠ 0)
14 eldif 3721 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}))
156snid 4349 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0}
16 eleq1 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
1715, 16mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ {0})
1817necon3bi 2954 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ {0} → 𝑋 ≠ 0)
1918anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
2014, 19sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
21 logcl 24510 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2322adantl 473 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2410anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
255, 24sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26 logcl 24510 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2827adantr 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
29 eldifpr 4345 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3029biimpi 206 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3130adantr 472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
32 logccne0 24520 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3423, 28, 33divcld 10989 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
354, 13, 34cxpefd 24653 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))) = (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))))
36 eldifsn 4458 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
3736, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3837adantl 473 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3929, 32sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4039adantr 472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4138, 28, 40divcan1d 10990 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵)) = (log‘𝑋))
4241fveq2d 6352 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = (exp‘(log‘𝑋)))
43 eflog 24518 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4436, 43sylbi 207 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4544adantl 473 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4642, 45eqtrd 2790 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = 𝑋)
472, 35, 463eqtrd 2794 1 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  cdif 3708  {csn 4317  {cpr 4319  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  0cc0 10124  1c1 10125   · cmul 10129   / cdiv 10872  expce 14987  logclog 24496  𝑐ccxp 24497   logb clogb 24697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-pi 14998  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826  df-log 24498  df-cxp 24499  df-logb 24698
This theorem is referenced by:  relogbcxpb  24720  fllogbd  42860  nnpw2blen  42880  dignn0ldlem  42902
  Copyright terms: Public domain W3C validator