Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplogb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplogb 24419
 Description: Identity law for the general logarithm. (Contributed by AV, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
cxplogb ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem cxplogb
StepHypRef Expression
1 logbval 24399 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
21oveq2d 6621 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))))
3 eldifi 3715 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 eldif 3570 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}))
6 c0ex 9979 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76prid1 4272 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
8 eleq1 2692 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ {0, 1} ↔ 0 ∈ {0, 1}))
97, 8mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ {0, 1})
109necon3bi 2822 . . . . . 6 𝐵 ∈ {0, 1} → 𝐵 ≠ 0)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
125, 11sylbi 207 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → 𝐵 ≠ 0)
1312adantr 481 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐵 ≠ 0)
14 eldif 3570 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}))
156snid 4184 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0}
16 eleq1 2692 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ {0} ↔ 0 ∈ {0}))
1715, 16mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ {0})
1817necon3bi 2822 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ {0} → 𝑋 ≠ 0)
1918anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑋 ∈ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
2014, 19sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
21 logcl 24214 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
2410anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐵 ∈ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
255, 24sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26 logcl 24214 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
29 eldifpr 4180 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3029biimpi 206 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
32 logccne0 24224 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
3423, 28, 33divcld 10746 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
354, 13, 34cxpefd 24353 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐((log‘𝑋) / (log‘𝐵))) = (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))))
36 eldifsn 4292 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
3736, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
3929, 32sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4039adantr 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (log‘𝐵) ≠ 0)
4138, 28, 40divcan1d 10747 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵)) = (log‘𝑋))
4241fveq2d 6154 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = (exp‘(log‘𝑋)))
43 eflog 24222 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4436, 43sylbi 207 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4544adantl 482 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(log‘𝑋)) = 𝑋)
4642, 45eqtrd 2660 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (exp‘(((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) · (log‘𝐵))) = 𝑋)
472, 35, 463eqtrd 2664 1 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   ∖ cdif 3557  {csn 4153  {cpr 4155  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   / cdiv 10629  expce 14712  logclog 24200  ↑𝑐ccxp 24201   logb clogb 24397 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-cxp 24203  df-logb 24398 This theorem is referenced by:  relogbcxpb  24420  fllogbd  41620  nnpw2blen  41640  dignn0ldlem  41662
 Copyright terms: Public domain W3C validator