MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 24749
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 11877 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 reefcl 14861 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
4 efgt1 14890 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))
5 cxp2limlem 24747 . . 3 (((exp‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (exp‘𝐴)) → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
63, 4, 5syl2anc 694 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
7 reefcl 14861 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
9 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ifcl 4163 . . . . . . 7 (((exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
138adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
14 rpre 11877 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 maxlt 12062 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
18 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < 𝑛)
19 reeflog 24372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2019ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2118, 20breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛)))
22 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 ∈ ℝ)
2314ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
24 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 1 < 𝑛)
2523, 24rplogcld 24420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
2625rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
27 eflt 14891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℝ) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2822, 26, 27syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2921, 28mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 < (log‘𝑛))
30 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑧 < 𝑚𝑧 < (log‘𝑛)))
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → 𝑚 = (log‘𝑛))
32 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) = ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))
3331, 32oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) = ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))))
3433fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (log‘𝑛) → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) = (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))))
3534breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
3630, 35imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3736rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑛) ∈ ℝ+ → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3929, 38mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
401ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4140relogefd 24419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)
4241oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = ((log‘𝑛) · 𝐴))
4325rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
44 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4643, 45mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · 𝐴) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4742, 46eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4847fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
493ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
51 efne0 14871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5350, 52, 43cxpefd 24503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))))
54 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
5554ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
56 rpne0 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
5756ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ≠ 0)
5855, 57, 45cxpefd 24503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑛𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
5948, 53, 583eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (𝑛𝑐𝐴))
6059oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))) = ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)))
6160fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) = (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))))
6261breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6339, 62sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6463expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6517, 64sylbid 230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6665com23 86 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6766ralrimdva 2998 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
68 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (𝑦 < 𝑛 ↔ if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛))
6968imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → ((𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7069ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7170rspcev 3340 . . . . . 6 ((if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
7211, 67, 71syl6an 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7372rexlimdva 3060 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7473ralimdv 2992 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
75 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ+)
761adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
7776rpefcld 14879 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ+)
78 rpre 11877 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ)
8077, 79rpcxpcld 24521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) ∈ ℝ+)
8175, 80rpdivcld 11927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℝ+)
8281rpcnd 11912 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
8382ralrimiva 2995 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
84 rpssre 11881 . . . . 5 + ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
8683, 85rlim0lt 14284 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥)))
87 relogcl 24367 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
89 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
901adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9189, 90rpcxpcld 24521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9288, 91rerpdivcld 11941 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
9392recnd 10106 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9493ralrimiva 2995 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9594, 85rlim0lt 14284 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
9674, 86, 953imtr4d 283 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0))
976, 96mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  +crp 11870  abscabs 14018  𝑟 crli 14260  expce 14836  logclog 24346  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  cxploglim2  24750  logfacrlim  24994  chtppilimlem2  25208  chpchtlim  25213  dchrvmasumlema  25234  logdivsum  25267
  Copyright terms: Public domain W3C validator