MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 24421
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 11671 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 reefcl 14602 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
4 efgt1 14631 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))
5 cxp2limlem 24419 . . 3 (((exp‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (exp‘𝐴)) → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
63, 4, 5syl2anc 690 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
7 reefcl 14602 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
9 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ifcl 4079 . . . . . . 7 (((exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
138adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
14 rpre 11671 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 maxlt 11857 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
18 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < 𝑛)
19 reeflog 24048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2019ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
2118, 20breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛)))
22 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 ∈ ℝ)
2314ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
24 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 1 < 𝑛)
2523, 24rplogcld 24096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
2625rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
27 eflt 14632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℝ) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2822, 26, 27syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2921, 28mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 < (log‘𝑛))
30 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑧 < 𝑚𝑧 < (log‘𝑛)))
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → 𝑚 = (log‘𝑛))
32 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) = ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))
3331, 32oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) = ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))))
3433fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (log‘𝑛) → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) = (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))))
3534breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
3630, 35imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3736rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑛) ∈ ℝ+ → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3929, 38mpid 42 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
401ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4140relogefd 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)
4241oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = ((log‘𝑛) · 𝐴))
4325rpcnd 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
44 rpcn 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
4544ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4643, 45mulcomd 9917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · 𝐴) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4742, 46eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4847fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
493ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
51 efne0 14612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5350, 52, 43cxpefd 24175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))))
54 rpcn 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
5554ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
56 rpne0 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
5756ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ≠ 0)
5855, 57, 45cxpefd 24175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑛𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
5948, 53, 583eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (𝑛𝑐𝐴))
6059oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))) = ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)))
6160fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) = (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))))
6261breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6339, 62sylibd 227 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6463expr 640 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6517, 64sylbid 228 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6665com23 83 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6766ralrimdva 2951 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
68 breq1 4580 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (𝑦 < 𝑛 ↔ if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛))
6968imbi1d 329 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → ((𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7069ralbidv 2968 . . . . . . 7 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7170rspcev 3281 . . . . . 6 ((if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
7211, 67, 71syl6an 565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7372rexlimdva 3012 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
7473ralimdv 2945 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
75 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ+)
761adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
7776rpefcld 14620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ+)
78 rpre 11671 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ)
7978adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ)
8077, 79rpcxpcld 24193 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) ∈ ℝ+)
8175, 80rpdivcld 11721 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℝ+)
8281rpcnd 11706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
8382ralrimiva 2948 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
84 rpssre 11675 . . . . 5 + ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
8683, 85rlim0lt 14034 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥)))
87 relogcl 24043 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8887adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
89 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
901adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9189, 90rpcxpcld 24193 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
9288, 91rerpdivcld 11735 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
9392recnd 9924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9493ralrimiva 2948 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9594, 85rlim0lt 14034 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
9674, 86, 953imtr4d 281 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0))
976, 96mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  +crp 11664  abscabs 13768  𝑟 crli 14010  expce 14577  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  cxploglim2  24422  logfacrlim  24666  chtppilimlem2  24880  chpchtlim  24885  dchrvmasumlema  24906  logdivsum  24939
  Copyright terms: Public domain W3C validator