MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim2 24422
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10941 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
3 0red 9897 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
43recnd 9924 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
5 ovex 6555 . . . 4 ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V
65a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V)
7 simpr 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 recl 13644 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
10 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 ifcl 4079 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancl 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
1310a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 10399 . . . . . . . 8 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
16 max1 11849 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
1710, 9, 16sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 10048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
1912, 18elrpd 11701 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
207, 19rpdivcld 11721 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
21 cxploglim 24421 . . . 4 ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
236, 22, 19rlimcxp 24417 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ⇝𝑟 0)
246, 22rlimmptrcl 14132 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℂ)
2512adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
2625recnd 9924 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
2724, 26cxpcld 24171 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
28 relogcl 24043 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2928adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
3029recnd 9924 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
31 simpll 785 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3230, 31cxpcld 24171 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
33 simpr 475 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
34 rpre 11671 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3633, 35rpcxpcld 24193 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
3736rpcnd 11706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℂ)
3836rpne0d 11709 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ≠ 0)
3932, 37, 38divcld 10650 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
4039adantrr 748 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
4140abscld 13969 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ∈ ℝ)
42 rpre 11671 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
4342ad2antrl 759 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4410a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
451a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ∈ ℝ)
46 1lt3 11043 . . . . . . . . . 10 1 < 3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 3)
48 simprr 791 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ≤ 𝑛)
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 10048 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 𝑛)
5043, 49rplogcld 24096 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
5133adantrr 748 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
5234ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5319adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
5452, 53rerpdivcld 11735 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
5551, 54rpcxpcld 24193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+)
5650, 55rpdivcld 11721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℝ+)
5712adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
5856, 57rpcxpcld 24193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 11704 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
6027adantrr 748 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
6160abscld 13969 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ)
6232adantrr 748 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
6362abscld 13969 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
6450, 57rpcxpcld 24193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
6564rpred 11704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
6636adantrr 748 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
67 simpll 785 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68 abscxp 24155 . . . . . . . 8 (((log‘𝑛) ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
6950, 67, 68syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
7067recld 13728 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
71 max2 11851 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
7210, 70, 71sylancr 693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
7328ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
74 loge 24054 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
75 ere 14604 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e ∈ ℝ)
77 egt2lt3 14719 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
7877simpri 476 . . . . . . . . . . . . 13 e < 3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 3)
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 10048 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 𝑛)
81 epr 14721 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
82 logltb 24067 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
8381, 51, 82sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
8480, 83mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘e) < (log‘𝑛))
8574, 84syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < (log‘𝑛))
8673, 85, 70, 57cxpled 24183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ↔ ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
8772, 86mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
8869, 87eqbrtrd 4599 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)) ≤ (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
9032, 37, 38absdivd 13988 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))))
9190adantrr 748 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))))
9266rprege0d 11711 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛𝑐𝐵)))
93 absid 13830 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛𝑐𝐵)) → (abs‘(𝑛𝑐𝐵)) = (𝑛𝑐𝐵))
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑛𝑐𝐵)) = (𝑛𝑐𝐵))
9594oveq2d 6543 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)))
9691, 95eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)))
9750rprege0d 11711 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)))
9812recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
9998adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
100 divcxp 24150 . . . . . . 7 ((((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)) ∧ (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+ ∧ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
10197, 55, 99, 100syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
10251, 54, 99cxpmuld 24197 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
10352recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10453rpne0d 11709 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ≠ 0)
105103, 99, 104divcan1d 10651 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = 𝐵)
106105oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (𝑛𝑐𝐵))
107102, 106eqtr3d 2645 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (𝑛𝑐𝐵))
108107oveq2d 6543 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
109101, 108eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
11089, 96, 1093brtr4d 4609 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ≤ (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
11159leabsd 13947 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
11241, 59, 61, 110, 111letrd 10045 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
11340subid1d 10232 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0) = (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)))
114113fveq2d 6092 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))))
11560subid1d 10232 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0) = (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
116115fveq2d 6092 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
117112, 114, 1163brtr4d 4609 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0)) ≤ (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)))
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 14173 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  +crp 11664  cre 13631  abscabs 13768  𝑟 crli 14010  eceu 14578  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  logexprlim  24667
  Copyright terms: Public domain W3C validator