MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul 24151
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑐𝐶))

Proof of Theorem cxpmul
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2 simp2 1054 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
32recnd 9924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 relogcl 24043 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
543ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
65recnd 9924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
71, 3, 6mulassd 9919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐵) · (log‘𝐴)) = (𝐶 · (𝐵 · (log‘𝐴))))
83, 1mulcomd 9917 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
98oveq1d 6542 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) · (log‘𝐴)))
10 rpcn 11673 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
11103ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 rpne0 11680 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
13123ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
14 cxpef 24128 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
1511, 13, 3, 14syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
1615fveq2d 6092 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(𝐴𝑐𝐵)) = (log‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
172, 5remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1817relogefd 24095 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (𝐵 · (log‘𝐴)))
1916, 18eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(𝐴𝑐𝐵)) = (𝐵 · (log‘𝐴)))
2019oveq2d 6543 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (log‘(𝐴𝑐𝐵))) = (𝐶 · (𝐵 · (log‘𝐴))))
217, 9, 203eqtr4d 2653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴)) = (𝐶 · (log‘(𝐴𝑐𝐵))))
2221fveq2d 6092 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴𝑐𝐵)))))
233, 1mulcld 9916 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
24 cxpef 24128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))))
2511, 13, 23, 24syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))))
26 cxpcl 24137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2711, 3, 26syl2anc 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
28 cxpne0 24140 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ≠ 0)
2911, 13, 3, 28syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ≠ 0)
30 cxpef 24128 . . 3 (((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑐𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴𝑐𝐵)))))
3127, 29, 1, 30syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴𝑐𝐵)))))
3222, 25, 313eqtr4d 2653 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑐𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792   · cmul 9797  +crp 11664  expce 14577  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  cxpmuld  24197
  Copyright terms: Public domain W3C validator