MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul2 24335
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 24334 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
21oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 0)))
3 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
42, 3eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0)))
54imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))))
6 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
76oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)))
109imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))))
11 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
1716oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
1917, 18eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
2019imbi2d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))))
21 cxp0 24316 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐0) = 1)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐0) = 1)
23 mul01 10159 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
2524oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴𝑐0))
26 cxpcl 24320 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2726exp0d 12942 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑0) = 1)
2822, 25, 273eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
29 oveq1 6611 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
30 0cn 9976 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
31 cxp0 24316 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑𝑐0) = 1
33 1t1e1 11119 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
3432, 33eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . 11 (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
3736oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38 nn0p1nn 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4039nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4140ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4241mul02d 10178 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
4337, 42eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
4435, 43oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
4536oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4948mul02d 10178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
5045, 49eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
5135, 50oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
5251, 32syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
5335, 36oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5453, 32syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
5552, 54oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (1 · 1))
5634, 44, 553eqtr4a 2681 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
57 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6059, 47mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62 cxpcl 24320 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6358, 61, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6463mul01d 10179 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
6665oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
6759ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69 0cxp 24312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7067, 68, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7166, 70eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
7271oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
7365oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
7440ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7567, 74mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7639nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7776ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7867, 74, 68, 77mulne0d 10623 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79 0cxp 24312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8075, 78, 79syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8173, 80eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8264, 72, 813eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8356, 82pm2.61dane 2877 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8459adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8547adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
8784, 85, 86adddid 10008 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
8884mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8988oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9087, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9190oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
9257adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
9460adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95 cxpadd 24325 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9692, 93, 94, 84, 95syl211anc 1329 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9791, 96eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9883, 97pm2.61dane 2877 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
99 expp1 12807 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10026, 99sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10198, 100eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵))))
10229, 101syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103102expcom 451 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104103a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
1055, 10, 15, 20, 28, 104nn0ind 11416 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
106105com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
1071063impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cn 10964  0cn0 11236  cexp 12800  𝑐ccxp 24206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208
This theorem is referenced by:  cxproot  24336  cxpmul2z  24337  cxpmul2d  24355
  Copyright terms: Public domain W3C validator