MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrtlem 25212
Description: Lemma for cxpsqrt 25213. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrtlem (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cxpsqrtlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10584 . . 3 i ∈ ℂ
2 sqrtcl 14709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
32ad2antrr 722 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4 mulcl 10609 . . 3 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
51, 3, 4sylancr 587 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 imval 14454 . . . 4 ((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · (√‘𝐴))) = (ℜ‘((i · (√‘𝐴)) / i)))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (√‘𝐴))) = (ℜ‘((i · (√‘𝐴)) / i)))
8 ine0 11063 . . . . . 6 i ≠ 0
9 divcan3 11312 . . . . . 6 (((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · (√‘𝐴)) / i) = (√‘𝐴))
101, 8, 9mp3an23 1444 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · (√‘𝐴)) / i) = (√‘𝐴))
113, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴)) / i) = (√‘𝐴))
1211fveq2d 6667 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘((i · (√‘𝐴)) / i)) = (ℜ‘(√‘𝐴)))
13 halfre 11839 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
1413recni 10643 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℂ
15 logcl 25079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
16 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1714, 15, 16sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1817recld 14541 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
1918reefcld 15429 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
2017imcld 14542 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
2120recoscld 15485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
2218rpefcld 15446 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
2322rpge0d 12423 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))
24 immul2 14484 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = ((1 / 2) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
2513, 15, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = ((1 / 2) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
2615imcld 14542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
28 mulcom 10611 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) · (1 / 2)))
2914, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 2) · (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) · (1 / 2)))
3025, 29eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) · (1 / 2)))
31 logimcl 25080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
3231simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
33 pire 24971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ
3433renegcli 10935 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
35 ltle 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
3634, 26, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
3831simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
3934, 33elicc2i 12790 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π[,]π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π[,]π))
41 halfgt0 11841 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
4213, 41elrpii 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ+
4333recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℂ
44 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
45 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
46 divneg 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
4743, 44, 45, 46mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 -(π / 2) = (-π / 2)
4834recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4948, 44, 45divreci 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π / 2) = (-π · (1 / 2))
5047, 49eqtr2i 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (-π · (1 / 2)) = -(π / 2)
5143, 44, 45divreci 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 (π / 2) = (π · (1 / 2))
5251eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (π · (1 / 2)) = (π / 2)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 12865 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π[,]π) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) · (1 / 2)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5440, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) · (1 / 2)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5530, 54eqeltrd 2910 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
56 cosq14ge0 25024 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))
5819, 21, 23, 57mulge0d 11205 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))
59 cxpef 25175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
6014, 59mp3an3 1441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
61 efeul 15503 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))))
6217, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))))
6360, 62eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))))
6463fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))) = (ℜ‘((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))))))
6521recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℂ)
6620resincld 15484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
6766recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℂ)
68 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))) ∈ ℂ)
691, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))) ∈ ℂ)
7065, 69addcld 10648 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))) ∈ ℂ)
7119, 70remul2d 14574 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · ((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))))) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))))))
7221, 66crred 14578 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))) = (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))
7372oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · (ℜ‘((cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) + (i · (sin‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))))))) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))
7464, 71, 733eqtrd 2857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))) = ((exp‘(ℜ‘((1 / 2) · (log‘𝐴)))) · (cos‘(ℑ‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))))
7558, 74breqtrrd 5085 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))))
7675adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))))
77 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))
7877fveq2d 6667 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))) = (ℜ‘-(√‘𝐴)))
793renegd 14556 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘-(√‘𝐴)) = -(ℜ‘(√‘𝐴)))
8078, 79eqtrd 2853 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴𝑐(1 / 2))) = -(ℜ‘(√‘𝐴)))
8176, 80breqtrd 5083 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -(ℜ‘(√‘𝐴)))
823recld 14541 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11199 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((ℜ‘(√‘𝐴)) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘(√‘𝐴))))
8481, 83mpbird 258 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘(√‘𝐴)) ≤ 0)
85 sqrtrege0 14713 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)))
8685ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)))
87 0re 10631 . . . . 5 0 ∈ ℝ
88 letri3 10714 . . . . 5 (((ℜ‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘(√‘𝐴)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)))))
8982, 87, 88sylancl 586 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((ℜ‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘(√‘𝐴)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)))))
9084, 86, 89mpbir2and 709 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℜ‘(√‘𝐴)) = 0)
917, 12, 903eqtrd 2857 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (√‘𝐴))) = 0)
925, 91reim0bd 14547 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  [,]cicc 12729  cre 14444  cim 14445  csqrt 14580  expce 15403  sincsin 15405  cosccos 15406  πcpi 15408  logclog 25065  𝑐ccxp 25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
This theorem is referenced by:  cxpsqrt  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator