MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyclnspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyclnspth 25925
Description: A (non trivial) cycle is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
cyclnspth (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))

Proof of Theorem cyclnspth
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cycl 25807 . . . 4 Cycles = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑣 Paths 𝑒)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
21brovmpt2ex 7213 . . 3 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3 iscycl 25919 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
4 pthistrl 25868 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
5 trliswlk 25835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
6 2mwlk 25815 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
7 lennncl 13126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
8 df-f1 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 ↔ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
9 nnne0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ≠ 0)
109necomd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → 0 ≠ (#‘𝐹))
1110neneqd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ¬ 0 = (#‘𝐹))
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉) → ¬ 0 = (#‘𝐹))
13 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉)
14 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
15 0elfz 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
17 nn0re 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
1817leidd 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹))
19 elfz2nn0 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
2016, 16, 18, 19syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
2115, 20jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹))))
2214, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹))))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉) → (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹))))
24 f1fveq 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 ∧ (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ 0 = (#‘𝐹)))
2513, 23, 24syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ 0 = (#‘𝐹)))
2612, 25mtbird 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
2726expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1𝑉 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
288, 27sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2928expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝑃 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
3029com13 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (Fun 𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
3130imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (Fun 𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
3231con2d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ¬ Fun 𝑃))
3332ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ¬ Fun 𝑃)))
3433com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ¬ Fun 𝑃)))
357, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹 ≠ ∅) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ¬ Fun 𝑃)))
3635ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝐹 ≠ ∅ → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ¬ Fun 𝑃))))
3736com24 92 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ Fun 𝑃))))
3837imp 443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ Fun 𝑃)))
394, 5, 6, 384syl 19 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ Fun 𝑃)))
4039imp 443 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ Fun 𝑃))
4140adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ Fun 𝑃))
4241imp 443 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ¬ Fun 𝑃)
4342intnand 952 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ¬ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
44 isspth 25865 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
4544adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
4645adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
4743, 46mtbird 313 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)
4847ex 448 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
4948ex 448 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
503, 49sylbid 228 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
512, 50mpcom 37 . 2 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
5251com12 32 1 (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ¬ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  c0 3873   class class class wbr 4577  ccnv 5027  dom cdm 5028  Fun wfun 5784  wf 5786  1-1wf1 5787  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  cle 9931  cn 10867  0cn0 11139  ...cfz 12152  #chash 12934  Word cword 13092   Walks cwalk 25792   Trails ctrail 25793   Paths cpath 25794   SPaths cspath 25795   Cycles ccycl 25801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-wlk 25802  df-trail 25803  df-pth 25804  df-spth 25805  df-cycl 25807
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator