MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygctb 18485
Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cygctb (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem cygctb
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2752 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
31, 2iscyg 18473 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵))
43simprbi 483 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵)
5 ovex 6833 . . . . . 6 (𝑛(.g𝐺)𝑥) ∈ V
6 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥))
75, 6fnmpti 6175 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) Fn ℤ
8 df-fo 6047 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵 ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) Fn ℤ ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵))
97, 8mpbiran 991 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵)
10 omelon 8708 . . . . . . . 8 ω ∈ On
11 onenon 8957 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ∈ dom card
13 znnen 15132 . . . . . . . . 9 ℤ ≈ ℕ
14 nnenom 12965 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
1513, 14entri 8167 . . . . . . . 8 ℤ ≈ ω
16 ennum 8955 . . . . . . . 8 (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card)
1812, 17mpbir 221 . . . . . 6 ℤ ∈ dom card
19 fodomnum 9062 . . . . . 6 (ℤ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ℤ))
2018, 19mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ℤ))
21 domentr 8172 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
2215, 21mpan2 709 . . . . 5 (𝐵 ≼ ℤ → 𝐵 ≼ ω)
2320, 22syl6 35 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ω))
249, 23syl5bir 233 . . 3 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵𝐵 ≼ ω))
2524rexlimdva 3161 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → (∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵𝐵 ≼ ω))
264, 25mpd 15 1 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  ran crn 5259  Oncon0 5876   Fn wfn 6036  ontowfo 6039  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  cen 8110  cdom 8111  cardccrd 8943  cn 11204  cz 11561  Basecbs 16051  Grpcgrp 17615  .gcmg 17733  CycGrpccyg 18471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-cyg 18472
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator