MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 18206
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen2 18204 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
54simprbda 652 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐵)
6 cyggeninv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
71, 6grpinvcl 17388 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
85, 7syldan 487 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
94simplbda 653 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
1110eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
1211cbvrexv 3160 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13 znegcl 11356 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
1716negnegd 10327 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
1817oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
205ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
211, 2, 6mulgneg2 17496 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2318, 22eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
24 oveq1 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2524eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑚 → ((𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋))))
2625rspcev 3295 . . . . . . . 8 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
2714, 23, 26syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
28 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2928rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3027, 29syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3130rexlimdva 3024 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3212, 31syl5bi 232 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3332ralimdva 2956 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
349, 33mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
351, 2, 3iscyggen2 18204 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
3635adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
378, 34, 36mpbir2and 956 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cmpt 4673  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  -cneg 10211  cz 11321  Basecbs 15781  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  .gcmg 17461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator