Theorem cyggeninv 19004

Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggeninv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen2 19002	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
5	4	simprbda 501	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		cyggeninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	1, 6	grpinvcl 18153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 7	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	4	simplbda 502	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
11	10	eqeq2d 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
12	11	cbvrexvw 3452	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13		znegcl 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
18	17	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
20	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 6	mulgneg2 18263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
22	19, 14, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
24		oveq1 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
25	24	rspceeqv 3640	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
26	14, 23, 25	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
27		eqeq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
28	27	rexbidv 3299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
29	26, 28	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
30	29	rexlimdva 3286	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
31	12, 30	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
32	31	ralimdva 3179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
33	9, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
34	1, 2, 3	iscyggen2 19002	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
35	34	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
36	8, 33, 35	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ↦ cmpt 5148  ran crn 5558  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  -cneg 10873  ℤcz 11984  Basecbs 16485  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  ._gcmg 18226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mulg 18227

This theorem is referenced by: (None)