MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggex2 18344
Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggex2 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2651 . . 3 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 eqid 2651 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyg2 18330 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5 n0 3964 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
86, 7sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
101, 2, 3, 9cyggenod2 18333 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
118, 10jca 553 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
1211ex 449 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))))
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
141, 13gexcl 18041 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
18 0nn0 11345 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
2017, 19ifclda 4153 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (#‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
22 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
231, 13gexdvds3 18051 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (#‘𝐵))
2423adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (#‘𝐵))
2515adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26 nn0z 11438 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ)
27 dvds0 15044 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
2921, 22, 24, 28ifbothda 4156 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
30 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
311, 13, 9gexod 18047 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3231adantrr 753 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3330, 32eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34 dvdseq 15083 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1367 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
3635ex 449 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
3712, 36syld 47 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
3837exlimdv 1901 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
395, 38syl5bi 232 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
4039imp 444 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
414, 40sylbi 207 1 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  0cn0 11330  cz 11415  #chash 13157  cdvds 15027  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  .gcmg 17587  odcod 17990  gExcgex 17991  CycGrpccyg 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-od 17994  df-gex 17995  df-cyg 18326
This theorem is referenced by:  cyggex  18345
  Copyright terms: Public domain W3C validator