MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem1 19855
Description: Lemma for cygzn 19859. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
cygzn.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m · = (.g𝐺)
cygzn.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x (𝜑𝑋𝐸)
Assertion
Ref Expression
cygznlem1 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥   𝑛,𝑌,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑥,𝑁   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
2 hashcl 13103 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
4 0nn0 11267 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
63, 5ifclda 4098 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
71, 6syl5eqel 2702 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 simprr 795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 cygzn.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
12 cygzn.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1311, 12zndvds 19838 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1323 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
15 cygzn.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
16 cyggrp 18231 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
18 cygzn.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
19 cygzn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 cygzn.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
21 cygzn.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
22 eqid 2621 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 18227 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((od‘𝐺)‘𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
2417, 18, 23syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
2524, 1syl6eqr 2673 . . . 4 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝑋) = 𝑁)
2625adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((od‘𝐺)‘𝑋) = 𝑁)
2726breq1d 4633 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
2817adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
2919, 20, 21iscyggen 18222 . . . . . 6 (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
3029simplbi 476 . . . . 5 (𝑋𝐸𝑋𝐵)
3118, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐵)
33 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3419, 22, 20, 33odcong 17908 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1327 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
3614, 27, 353bitr2d 296 1 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  0cc0 9896  cmin 10226  0cn0 11252  cz 11337  #chash 13073  cdvds 14926  Basecbs 15800  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  .gcmg 17480  odcod 17884  CycGrpccyg 18219  ℤRHomczrh 19788  ℤ/nczn 19791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-imas 16108  df-qus 16109  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-nsg 17532  df-eqg 17533  df-ghm 17598  df-od 17888  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-cyg 18220  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-rnghom 18655  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-lidl 19114  df-rsp 19115  df-2idl 19172  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-zn 19795
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  19856  cygznlem3  19858
  Copyright terms: Public domain W3C validator