Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 41727
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 41724 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑋)
61, 5mgpbas 18489 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
74fveq2i 6192 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
8 fvex 6199 . . . . . . . . . 10 (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
92, 8eqeltri 2696 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ V
10 fvex 6199 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑌) ∈ V
113, 10eqeltri 2696 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
1211, 11mpt2ex 7244 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
13 mulrid 15991 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.r‘ndx)
1413setsid 15908 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
159, 12, 14mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
167, 15mgpplusg 18487 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
1716eqcomi 2630 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
18 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
19 eluz2 11690 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
20 1lt2 11191 . . . . . . . . . 10 1 < 2
21 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 2re 11087 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
24 zre 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
25 ltletr 10126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2726expcomd 454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
29283imp 1255 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
3020, 29mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
3119, 30sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
32 eluz2nn 11723 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
332, 3znhash 19901 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘𝐵) = 𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#‘𝐵) = 𝑁)
3531, 34breqtrrd 4679 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (#‘𝐵))
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 1 < (#‘𝐵))
376, 17, 18, 36copisnmnd 41580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
38 df-nel 2897 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3937, 38sylib 208 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
4039intn3an2d 1442 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
41 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑋) = (+g𝑋)
424eqcomi 2630 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
4342fveq2i 6192 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
445, 1, 41, 43isring 18545 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
4540, 44sylnibr 319 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
46 df-nel 2897 . 2 (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
4745, 46sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wnel 2896  wral 2911  Vcvv 3198  cop 4181   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  cr 9932  1c1 9934   < clt 10071  cle 10072  cn 11017  2c2 11067  cz 11374  cuz 11684  #chash 13112  ndxcnx 15848   sSet csts 15849  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  .rcmulr 15936  0gc0g 16094  Mndcmnd 17288  Grpcgrp 17416  mulGrpcmgp 18483  Ringcrg 18541  ℤ/nczn 19845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-ec 7741  df-qs 7745  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-hash 13113  df-dvds 14978  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-0g 16096  df-imas 16162  df-qus 16163  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-mhm 17329  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-nsg 17586  df-eqg 17587  df-ghm 17652  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-rnghom 18709  df-subrg 18772  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-lidl 19168  df-rsp 19169  df-2idl 19226  df-cnfld 19741  df-zring 19813  df-zrh 19846  df-zn 19849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator