Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalawlem11 35485
Description: Lemma for dalaw 35490. First part of dalawlem13 35487. (Contributed by NM, 17-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l = (le‘𝐾)
dalawlem.j = (join‘𝐾)
dalawlem.m = (meet‘𝐾)
dalawlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
dalawlem11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem11
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dalawlem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 simp11 1111 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp21 1114 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃𝐴)
7 simp22 1115 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑄𝐴)
8 dalawlem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
9 dalawlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
101, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
113, 6, 7, 10syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp31 1117 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆𝐴)
13 simp32 1118 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇𝐴)
141, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
153, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
16 dalawlem.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
171, 16latmcl 17099 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
185, 11, 15, 17syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
19 simp23 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅𝐴)
201, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
213, 7, 19, 20syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
221, 2, 16latmle1 17123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (𝑃 𝑄))
235, 11, 15, 22syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (𝑃 𝑄))
24 simp12 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 (𝑄 𝑅))
251, 9atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
267, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
271, 9atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2819, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
291, 2, 8latlej1 17107 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 (𝑄 𝑅))
305, 26, 28, 29syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑄 (𝑄 𝑅))
311, 9atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
326, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
331, 2, 8latjle12 17109 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑄 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑃 𝑄) (𝑄 𝑅)))
345, 32, 26, 21, 33syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑄 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑃 𝑄) (𝑄 𝑅)))
3524, 30, 34mpbi2and 976 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑄) (𝑄 𝑅))
361, 2, 5, 18, 11, 21, 23, 35lattrd 17105 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (𝑄 𝑅))
371, 9atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
3813, 37syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
391, 8latjcl 17098 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
405, 11, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
411, 16latmcl 17099 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
425, 40, 15, 41syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
431, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
443, 19, 6, 43syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
45 simp33 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈𝐴)
461, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑆𝐴) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
473, 45, 12, 46syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
481, 16latmcl 17099 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
495, 44, 47, 48syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
501, 9atbase 34894 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
5145, 50syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
521, 8latjcl 17098 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
535, 49, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
541, 8latjcl 17098 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
555, 53, 38, 54syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
561, 2, 8latlej1 17107 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑇))
575, 11, 38, 56syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑇))
581, 2, 16latmlem1 17128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑇) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇))))
595, 11, 40, 15, 58syl13anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑇) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇))))
6057, 59mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)))
611, 2, 8latlej2 17108 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑇))
625, 11, 38, 61syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑇))
631, 2, 8, 16, 9atmod2i2 35466 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑇)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) 𝑇) = (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)))
643, 12, 40, 38, 62, 63syl131anc 1379 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) 𝑇) = (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)))
651, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
663, 7, 13, 65syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
671, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
683, 6, 12, 67syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
691, 16latmcom 17122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
705, 66, 68, 69syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
71 simp13 1113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈))
7270, 71eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑅 𝑈))
731, 16latmcl 17099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
745, 66, 68, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
751, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑈𝐴) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
763, 19, 45, 75syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
771, 2, 8latjlej2 17113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑅 𝑈) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 (𝑅 𝑈))))
785, 74, 76, 32, 77syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑅 𝑈) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 (𝑅 𝑈))))
7972, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 (𝑅 𝑈)))
801, 9atbase 34894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
8112, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
821, 2, 8latlej1 17107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
835, 32, 81, 82syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
841, 2, 8, 16, 9atmod1i1 35461 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
853, 6, 66, 68, 83, 84syl131anc 1379 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
868, 9hlatjass 34974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑈) = (𝑃 (𝑅 𝑈)))
873, 6, 19, 45, 86syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑈) = (𝑃 (𝑅 𝑈)))
888, 9hlatjcom 34972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
893, 6, 19, 88syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
9089oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑈) = ((𝑅 𝑃) 𝑈))
9187, 90eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑅 𝑈)) = ((𝑅 𝑃) 𝑈))
9279, 85, 913brtr3d 4716 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ((𝑅 𝑃) 𝑈))
931, 2, 8latlej2 17108 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑈 𝑆))
945, 51, 81, 93syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 (𝑈 𝑆))
951, 8latjcl 17098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
965, 32, 66, 95syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
971, 16latmcl 17099 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
985, 96, 68, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
991, 8latjcl 17098 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1005, 44, 51, 99syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1011, 2, 16latmlem12 17130 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ((𝑅 𝑃) 𝑈) ∧ 𝑆 (𝑈 𝑆)) → (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆) (((𝑅 𝑃) 𝑈) (𝑈 𝑆))))
1025, 98, 100, 81, 47, 101syl122anc 1375 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) ((𝑅 𝑃) 𝑈) ∧ 𝑆 (𝑈 𝑆)) → (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆) (((𝑅 𝑃) 𝑈) (𝑈 𝑆))))
10392, 94, 102mp2and 715 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆) (((𝑅 𝑃) 𝑈) (𝑈 𝑆)))
104 hlol 34966 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1053, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
1061, 16latmassOLD 34834 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) ((𝑃 𝑆) 𝑆)))
107105, 96, 68, 81, 106syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) ((𝑃 𝑆) 𝑆)))
1088, 9hlatjass 34974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
1093, 6, 7, 13, 108syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
110109eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) = ((𝑃 𝑄) 𝑇))
1111, 2, 8latlej2 17108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
1125, 32, 81, 111syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
1131, 2, 16latleeqm2 17127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 (𝑃 𝑆) ↔ ((𝑃 𝑆) 𝑆) = 𝑆))
1145, 81, 68, 113syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑆 (𝑃 𝑆) ↔ ((𝑃 𝑆) 𝑆) = 𝑆))
115112, 114mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑆) = 𝑆)
116110, 115oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) ((𝑃 𝑆) 𝑆)) = (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆))
117107, 116eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) = (((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)) 𝑆))
1181, 2, 8latlej1 17107 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 (𝑈 𝑆))
1195, 51, 81, 118syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 (𝑈 𝑆))
1201, 2, 8, 16, 9atmod4i1 35470 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑈 𝑆)) → (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) = (((𝑅 𝑃) 𝑈) (𝑈 𝑆)))
1213, 45, 44, 47, 119, 120syl131anc 1379 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) = (((𝑅 𝑃) 𝑈) (𝑈 𝑆)))
122103, 117, 1213brtr4d 4717 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈))
1231, 16latmcl 17099 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1245, 40, 81, 123syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1251, 2, 8latjlej1 17112 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) 𝑇) ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇)))
1265, 124, 53, 38, 125syl13anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) 𝑇) ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇)))
127122, 126mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) 𝑇) ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇))
12864, 127eqbrtrrd 4709 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) (𝑆 𝑇)) ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇))
1291, 2, 5, 18, 42, 55, 60, 128lattrd 17105 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇))
1301, 8latj31 17146 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇) = ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1315, 49, 51, 38, 130syl13anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) 𝑈) 𝑇) = ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
132129, 131breqtrd 4711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1331, 8, 9hlatjcl 34971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1343, 13, 45, 133syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1351, 8latjcl 17098 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
1365, 134, 49, 135syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
1371, 2, 16latlem12 17125 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑄 𝑅) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))))
1385, 18, 21, 136, 137syl13anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑄 𝑅) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))))
13936, 132, 138mpbi2and 976 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) ((𝑄 𝑅) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
1401, 2, 16latmle1 17123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) (𝑅 𝑃))
1415, 44, 47, 140syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) (𝑅 𝑃))
1421, 2, 8latlej2 17108 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1435, 26, 28, 142syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1441, 2, 8latjle12 17109 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑅 𝑃) (𝑄 𝑅)))
1455, 28, 32, 21, 144syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑅 𝑃) (𝑄 𝑅)))
146143, 24, 145mpbi2and 976 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑃) (𝑄 𝑅))
1471, 2, 5, 49, 44, 21, 141, 146lattrd 17105 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) (𝑄 𝑅))
1481, 2, 8, 16, 9llnmod2i2 35467 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
1493, 21, 49, 13, 45, 147, 148syl321anc 1388 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑇 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
150139, 149breqtrrd 4713 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑇)) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  dalawlem13  35487
  Copyright terms: Public domain W3C validator