Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalawlem6 33976
Description: Lemma for dalaw 33986. First piece of dalawlem8 33978. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l = (le‘𝐾)
dalawlem.j = (join‘𝐾)
dalawlem.m = (meet‘𝐾)
dalawlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
dalawlem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dalawlem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp11 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33464 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp21 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃𝐴)
7 simp22 1087 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑄𝐴)
8 dalawlem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 dalawlem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
101, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
113, 6, 7, 10syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp32 1090 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇𝐴)
131, 9atbase 33390 . . . . 5 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
151, 8latjcl 16820 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
165, 11, 14, 15syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
17 simp31 1089 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆𝐴)
181, 9atbase 33390 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
20 dalawlem.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
211, 20latmcl 16821 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
225, 16, 19, 21syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23 simp23 1088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅𝐴)
241, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
253, 7, 23, 24syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp33 1091 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈𝐴)
271, 9atbase 33390 . . . . 5 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2826, 27syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
291, 20latmcl 16821 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
305, 25, 28, 29syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
311, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
323, 23, 6, 31syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
331, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑆𝐴) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
343, 26, 17, 33syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
351, 20latmcl 16821 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
365, 32, 34, 35syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
371, 8latjcl 16820 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
385, 30, 36, 37syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
391, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
403, 12, 26, 39syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
411, 20latmcl 16821 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
425, 25, 40, 41syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
431, 8latjcl 16820 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
445, 42, 36, 43syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
451, 9atbase 33390 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
466, 45syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
471, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
483, 6, 17, 47syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
491, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
503, 7, 12, 49syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
511, 20latmcl 16821 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
525, 25, 50, 51syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
531, 20latmcl 16821 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
545, 48, 52, 53syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
551, 8latjcl 16820 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
565, 46, 54, 55syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
571, 9atbase 33390 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
5823, 57syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
591, 8latjcl 16820 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
605, 58, 30, 59syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
611, 8latjcl 16820 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
625, 46, 60, 61syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
631, 2, 8, 20latmlej22 16862 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆))
645, 19, 16, 46, 63syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆))
651, 20latmcl 16821 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
665, 50, 48, 65syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
671, 8latjcl 16820 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
685, 46, 66, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
691, 8latjcl 16820 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
705, 46, 52, 69syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
712, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
723, 6, 17, 71syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
731, 8latjcl 16820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
745, 46, 50, 73syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
751, 2, 20latmlem2 16851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑃 𝑆) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆))))
765, 19, 48, 74, 75syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑆 (𝑃 𝑆) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆))))
7772, 76mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
788, 9hlatjass 33470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
793, 6, 7, 12, 78syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
8079oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆))
812, 8, 9hlatlej1 33475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
823, 6, 17, 81syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
831, 2, 8, 20, 9atmod1i1 33957 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
843, 6, 50, 48, 82, 83syl131anc 1330 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
8577, 80, 843brtr4d 4609 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))))
861, 20latmcom 16844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
875, 50, 48, 86syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
88 simp12 1084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅))
8987, 88eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅))
901, 2, 20latmle1 16845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇))
915, 50, 48, 90syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇))
921, 2, 20latlem12 16847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇)) ↔ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
935, 66, 25, 50, 92syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇)) ↔ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
9489, 91, 93mpbi2and 957 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))
951, 2, 8latjlej2 16835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
965, 66, 52, 46, 95syl13anc 1319 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
981, 2, 5, 22, 68, 70, 85, 97lattrd 16827 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
991, 2, 20latlem12 16847 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))))
1005, 22, 48, 70, 99syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))))
10164, 98, 100mpbi2and 957 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
1021, 2, 8, 20, 9atmod3i1 33964 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
1033, 6, 48, 52, 82, 102syl131anc 1330 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
104101, 103breqtrrd 4605 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
105 simp13 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈))
1061, 20latmcl 16821 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1075, 48, 50, 106syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1081, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑈𝐴) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1093, 23, 26, 108syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1101, 2, 20latmlem2 16851 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈))))
1115, 107, 109, 25, 110syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈))))
112105, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
113 hlol 33462 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1143, 113syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
1151, 20latm12 33331 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))))
116114, 48, 25, 50, 115syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))))
1172, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1183, 7, 23, 117syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1191, 2, 8, 20, 9atmod3i1 33964 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑅)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) = ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
1203, 23, 25, 28, 118, 119syl131anc 1330 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) = ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
121112, 116, 1203brtr4d 4609 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))
1221, 2, 8latjlej2 16835 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))))
1235, 54, 60, 46, 122syl13anc 1319 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))))
124121, 123mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))))
1251, 2, 5, 22, 56, 62, 104, 124lattrd 16827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))))
1261, 8latj13 16867 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) = (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
1275, 46, 58, 30, 126syl13anc 1319 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) = (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
128125, 127breqtrd 4603 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
1291, 2, 8, 20latmlej22 16862 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆))
1305, 19, 16, 28, 129syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆))
1311, 8latjcl 16820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
1325, 30, 32, 131syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
1331, 2, 20latlem12 16847 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆)) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆))))
1345, 22, 132, 34, 133syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆)) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆))))
135128, 130, 134mpbi2and 957 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
1361, 2, 8, 20latmlej21 16861 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆))
1375, 28, 25, 19, 136syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆))
1381, 2, 8, 20, 9atmod1i1m 33958 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴) ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
1393, 26, 25, 32, 34, 137, 138syl231anc 1337 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
140135, 139breqtrrd 4605 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1412, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 (𝑇 𝑈))
1423, 12, 26, 141syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 (𝑇 𝑈))
1431, 2, 20latmlem2 16851 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 (𝑇 𝑈) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))))
1445, 28, 40, 25, 143syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑈 (𝑇 𝑈) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))))
145142, 144mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)))
1461, 2, 8latjlej1 16834 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
1475, 30, 42, 36, 146syl13anc 1319 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
148145, 147mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1491, 2, 5, 22, 38, 44, 140, 148lattrd 16827 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  Latclat 16814  OLcol 33275  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896
This theorem is referenced by:  dalawlem8  33978
  Copyright terms: Public domain W3C validator