Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem15 33782
Description: Lemma for dath 33840. The axis of perspectivity 𝑋 is a line. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem15.m = (meet‘𝐾)
dalem15.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
dalem15.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem15.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem15.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem15.x 𝑋 = (𝑌 𝑍)
Assertion
Ref Expression
dalem15 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑋𝑁)

Proof of Theorem dalem15
StepHypRef Expression
1 dalem15.x . 2 𝑋 = (𝑌 𝑍)
2 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
3 dalemc.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 dalemc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
5 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 dalem15.o . . . 4 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
7 eqid 2606 . . . 4 (LVols‘𝐾) = (LVols‘𝐾)
8 dalem15.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem15.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
10 eqid 2606 . . . 4 (𝑌 𝐶) = (𝑌 𝐶)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem14 33781 . . 3 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) ∈ (LVols‘𝐾))
122dalemkehl 33727 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
132dalemyeo 33736 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑂)
142dalemzeo 33737 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑂)
15 dalem15.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
16 dalem15.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
174, 15, 16, 6, 72lplnmj 33726 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑂𝑍𝑂) → ((𝑌 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (𝑌 𝑍) ∈ (LVols‘𝐾)))
1812, 13, 14, 17syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (𝑌 𝑍) ∈ (LVols‘𝐾)))
1918adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌𝑍) → ((𝑌 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (𝑌 𝑍) ∈ (LVols‘𝐾)))
2011, 19mpbird 245 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝑁)
211, 20syl5eqel 2688 1 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑋𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  lecple 15718  joincjn 16710  meetcmee 16711  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LLinesclln 33595  LPlanesclpl 33596  LVolsclvol 33597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-lat 16812  df-clat 16874  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604
This theorem is referenced by:  dalem16  33783  dalem53  33829
  Copyright terms: Public domain W3C validator