Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem23 35485
 Description: Lemma for dath 35525. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem23 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)

Proof of Theorem dalem23
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . 2 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
32dalemkehl 35412 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ HL)
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5 dalem.ps . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
65dalemccea 35472 . . . . . . 7 (𝜓𝑐𝐴)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝐴)
82dalempea 35415 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝐴)
105dalemddea 35473 . . . . . . 7 (𝜓𝑑𝐴)
1110adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝐴)
122dalemsea 35418 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐴)
1312adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆𝐴)
14 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
15 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1614, 15hlatj4 35163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑑𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
174, 7, 9, 11, 13, 16syl122anc 1486 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
18173adant2 1126 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
19 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 dalem23.o . . . . 5 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21 dalem23.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
22 dalem23.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
232, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22dalem22 35484 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
2418, 23eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂)
2533ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
262, 19, 14, 15, 20, 21dalemply 35443 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 𝑌)
275dalem-ccly 35474 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
28 nbrne2 4824 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 𝑌) → 𝑃𝑐)
2926, 27, 28syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝑐)
3029necomd 2987 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝑃)
31 eqid 2760 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3214, 15, 31llni2 35301 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑐𝑃) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
334, 7, 9, 30, 32syl31anc 1480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34333adant2 1126 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35103ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝐴)
36123ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝐴)
372, 19, 14, 15, 22dalemsly 35444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑆 𝑌)
38373adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆 𝑌)
395dalem-ddly 35475 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
40393ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
41 nbrne2 4824 . . . . . . 7 ((𝑆 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 𝑌) → 𝑆𝑑)
4238, 40, 41syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝑑)
4342necomd 2987 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝑆)
4414, 15, 31llni2 35301 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑑𝑆) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
4525, 35, 36, 43, 44syl31anc 1480 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46 dalem23.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
4714, 46, 15, 31, 202llnmj 35349 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4825, 34, 45, 47syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4924, 48mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴)
501, 49syl5eqel 2843 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  meetcmee 17146  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LLinesclln 35280  LPlanesclpl 35281 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288 This theorem is referenced by:  dalem24  35486  dalem27  35488  dalem28  35489  dalem29  35490  dalem38  35499  dalem39  35500  dalem41  35502  dalem42  35503  dalem43  35504  dalem44  35505  dalem45  35506  dalem51  35512  dalem52  35513  dalem54  35515  dalem55  35516  dalem57  35518  dalem58  35519  dalem59  35520
 Copyright terms: Public domain W3C validator